東京都 公立高校 2018年度 第3問 解説
問題編
問題
(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)
右の図1で点O は原点、曲線 $\ell$ は関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフを表している。
点A、点B はともに曲線 $\ell$ 上にあり、x 座標はそれぞれ $-4,6$ である。
曲線 $\ell $ 上にある点を P とする。
次の各問に答えよ。[問1] 点P の x 座標を a、y 座標を b とする。
a のとる値の範囲が $-4\leqq a \leqq 6$ のとき、b のとる値の範囲を次のア~エのうちから選び、記号で答えよ。ア $-8\leqq b \leqq 18$
イ $0\leqq b \leqq 8$
ウ $0\leqq b \leqq 18$
エ $8\leqq b \leqq 18$[問2] 右の図2は図1において、点P の x 座標が $-4$ より大きく $6$ より小さい数のとき、点A と点B を結び、線分AB 上にあり x 座標が点 P の x 座標と等しい点をQ とし、点P と点Q を結び、線分PQ の中点を M とした場合を表している。
次の①, ②に答えよ。
① 点P が y 軸上にあるとき、2点 B, M を通る直線の式を、次のア~エのうちから選び、記号で答えよ。
ア $y=2x+6$
イ $y=\dfrac{1}{2}x+6$
ウ $y=3x$
エ $y=2x$② 直線BM が原点を通るとき、点P の座標を求めよ。
考え方
問1は、よくあるひっかけ問題です。グラフをよく見て考えましょう。
問2は、それぞれどのような状況かを把握してから考えましょう。P, Q, M に関する条件を式で書いて、方程式を作って考えていくようにしましょう。後半は、「直線 BM が原点を通る」という条件をそのまま考えるよりも、別の表現に言い換えたほうが考えやすくなるでしょう。
解答編
問題
(サイトレイアウトの都合のため、「右の表」「右の図」は「下の表」「下の図」と読み替えて考えてください)
右の図1で点O は原点、曲線 $\ell$ は関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフを表している。
点A、点B はともに曲線 $\ell$ 上にあり、x 座標はそれぞれ $-4,6$ である。
曲線 $\ell $ 上にある点を P とする。
次の各問に答えよ。[問1] 点P の x 座標を a、y 座標を b とする。
a のとる値の範囲が $-4\leqq a \leqq 6$ のとき、b のとる値の範囲を次のア~エのうちから選び、記号で答えよ。ア $-8\leqq b \leqq 18$
イ $0\leqq b \leqq 8$
ウ $0\leqq b \leqq 18$
エ $8\leqq b \leqq 18$
解説
まずは、A, B の座標を求めましょう。
両方とも $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフ上にあり、 x 座標はそれぞれ $-4,6$ なので、 y 座標は、\[ \frac{1}{2}\times(-4)^2=8 \]と\[ \frac{1}{2}\times6^2=18 \]となります。
$-4\leqq a \leqq 6$ のときに対応するのは、下の色のついた部分です。
これを見ると、y 座標が一番大きくなるのは、 $a=6$ のときで、その値は $18$ です。また、 y 座標が一番小さくなるのは、 $a=0$ のときで、その値は $0$ です。 $a=-4$ のときではないことに注意しましょう。
よって、 $0\leqq b \leqq 18$ が正しい範囲です。
解答
問1: ウ
(5点)
解答編 つづき
問題
[問2] 右の図2は図1において、点P の x 座標が $-4$ より大きく $6$ より小さい数のとき、点A と点B を結び、線分AB 上にあり x 座標が点 P の x 座標と等しい点をQ とし、点P と点Q を結び、線分PQ の中点を M とした場合を表している。
次の①, ②に答えよ。
① 点P が y 軸上にあるとき、2点 B, M を通る直線の式を、次のア~エのうちから選び、記号で答えよ。
ア $y=2x+6$
イ $y=\dfrac{1}{2}x+6$
ウ $y=3x$
エ $y=2x$② 直線BM が原点を通るとき、点P の座標を求めよ。
解答
まず、① について考えます。
点P が y 軸上にあるとき、 Q, M も y 軸上にいます。
Q の y 座標は、直線 AB の切片と一致します。そのため、直線 AB の方程式を求めましょう。
直線 AB の方程式を $y=ax+b$ とすると、問1で求めた通り、 $\mathrm{ A }(-4,8)$, $\mathrm{ B }(6,18)$ だから、
\begin{eqnarray}
8=-4a+b \\[5pt]
18=6a+b \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立ちます。1つ目の式から2つ目の式を引いて
\begin{eqnarray}
-10 &=& -10a \\[5pt]
a &=& 1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、これを1つ目の式に代入して
\begin{eqnarray}
8 &=& -4\times 1+b \\[5pt]
b &=& 12 \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。よって、直線AB の方程式は $y=x+12$ であり、 Q の y 座標は $12$ とわかります。
点P は原点にいるので、線分 PQ の中点である M の座標は $(0,6)$ となります。
さて、2点B, M を通る直線の式を求めましょう。 M は y 軸上の点で、 y 座標が $6$ なので、この直線の切片は $6$ ですね。直線の傾きは、 y の増加量を x の増加量で割れば求められます。B, M の座標は、それぞれ、 $(6,18)$, $(0,6)$ なので、傾きは、\[ \frac{18-6}{6-0}=2 \]と求められます。
以上から、① のとき、直線 BM の式は $y=2x+6$ と求められます。
続いて、② を考えます。
「直線 BM が原点を通るときはどんなときか?」と考えてもなかなか難しいので、点P の座標を文字で置いて、「直線 BM が原点を通る」という条件に関する方程式を作る、という方針で考えていきます。
点P の x 座標を p とします。点P は $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 上の点なので、 y 座標は $\dfrac{1}{2}p^2$ となります。
点Q は、点P と x 座標が等しいので、点Q の x 座標は p です。また、点Q は直線AB 上の点であり、直線 AB の方程式は、先ほど求めた通り $y=x+12$ なので、点Q の y 座標は $p+12$ となります。
点M は、線分PQ の中点なので、 x 座標は p であり、 y 座標は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \times \left\{\frac{1}{2}p^2 +(p+12) \right\}
&=&
\frac{1}{4}p^2+\frac{1}{2}p+6
\end{eqnarray}となります。
さて、O, M, B の3つの点の座標に関する情報がそろったので、「直線 BM が原点を通る」という条件に関して方程式を作りましょう。今、M の座標はわかりませんが、B, O の座標はわかります。なので、「直線 BM が原点を通る」と考えるより、「直線 OB が点M を通る」と考えたほうが、考えやすくなります。
点B の座標が $(6,18)$ であることから、直線 OB の方程式は、 $y=3x$ となります。これが点M を通るので、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{4}p^2+\frac{1}{2}p+6 &=& 3p \\[5pt]
p^2+2p+24 &=& 12p \\[5pt]
p^2-10p+24 &=& 0 \\[5pt]
(p-4)(p-6) &=& 0 \\[5pt]
p &=& 4,6 \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められます。
今、点P の x 座標は $-4$ より大きく $6$ より小さいため、 $p=4$ であることがわかります。このときの y 座標は\[ \frac{1}{2}\times 4^2=8 \]と求められます。
解答
問2
① ア
② $(4,8)$
(①5点、②5点)