東京都 公立高校 2018年度 第1問 解説

解答編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の表」「右の図」は「下の表」「下の図」と読み替えて考えてください)
$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$

配点は、問1から問8までは5点、問9は6点です。

[問1] $5-\dfrac{1}{3}\times(-9)$ を計算せよ。

[問2] $8(a+b)-(4a-b)$ を計算せよ。

[問3] $(\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3})$ を計算せよ。

解説

まずは、計算問題です。

問1は、右の掛け算の方から計算します。
\begin{eqnarray}
5-\dfrac{1}{3}\times(-9)
&=&
5+3 \\[5pt] &=&
8
\end{eqnarray}これが答えです。

問2は、カッコをはずして計算していきます。2つ目のカッコをはずすときの b の符号に気をつけましょう。
\begin{eqnarray}
& &
8(a+b)-(4a-b) \\[5pt] &=&
8a+8b-4a+b \\[5pt] &=&
4a+9b \\[5pt] \end{eqnarray}これが答えです。

問3は、和と差の積なので、展開の公式を使いましょう。
\begin{eqnarray}
& &
(\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3}) \\[5pt] &=&
(\sqrt{7})^2-(2\sqrt{3})^2 \\[5pt] &=&
7-4\times 3 \\[5pt] &=&
7-12 \\[5pt] &=&
-5
\end{eqnarray}これが答えです。

解答

問1: $8$
問2: $4a+9b$
問3: $-5$

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解答編 つづき

問題

[問4] 一次方程式 $4x-5=x-6$ を解け。

[問5] 連立方程式 \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
7x -y =8 \\
-9x +4y =6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} を解け。

[問6] 二次方程式 $x^2+12x+35=0$ を解け。

解説

次の3問は方程式です。

問4は、次のようにして解きます。
\begin{eqnarray}
4x-5 &=& x-6 \\[5pt] 4x-x &=& 5-6 \\[5pt] 3x &=& -1 \\[5pt] x &=& -\frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}これが答えです。

問5は、次の連立方程式ですね。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
7x -y =8 \\
-9x +4y =6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}1つ目の式を4倍したものと、2つ目の式を並べてみます。
\begin{eqnarray}
28x -4y =32 \\
-9x +4y =6
\end{eqnarray}左辺同士、右辺同士を足すと、 y が消えて、次のようになります。
\begin{eqnarray}
28x-9x &=& 32+6 \\[5pt] 19x &=& 38 \\[5pt] x &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}これを1つ目の式に代入して
\begin{eqnarray}
7\times 2-y&=&8 \\[5pt] -y&=&8-14 \\[5pt] -y&=&-6 \\[5pt] y&=&6 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

問6は、因数分解ができるので、因数分解をして解きましょう。
\begin{eqnarray}
x^2+12x+35 &=& 0 \\[5pt] (x+5)(x+7) &=& 0 \\[5pt] x&=&-5,-7
\end{eqnarray}これが答えです。

解答

問4: $x=-\dfrac{1}{3}$
問5: $x=2,\ y=6$
問6: $x=-5,-7$

解答編 つづき

問題

[問7] 次の   の中の「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

 右の表は、東京のある地点における4月7日の最高気温について、過去40年間の記録を調査し、度数分布表に整理したものである。
 最高気温が18℃以上であった日数は、全体の日数の $\myBox{あい}$ である。

階級(℃) 度数(日)
以上  未満
8 ~ 10 1
10 ~ 12 4
12 ~ 14 2
14 ~ 16 7
16 ~ 18 8
18 ~ 20 5
20 ~ 22 9
22 ~ 24 4
40

解説

まず、最高気温が18℃以上の日数を計算しましょう。18℃以上20℃未満、20℃以上22℃未満、22℃以上24℃未満、この3つの日数を足せばいいですね。これを計算すると\[ 5+9+4=18 \]なので、18日だ、とわかります。

これが全体の何%であるかは、割ればわかりますね。\[ 18\div 40=0.45 \]なので、45%と求められます。

解答

あ: 4
い: 5

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解答編 つづき

問題

[問8] 次の   の中の「」「」「」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
 右の図1で、 $\ell /\!/ m$ のとき、 x で示した角の大きさは、 $\myBox{うえお}$ 度である。

図1

解説

図のように、 $\ell, m$ に平行な線をひき、 x を分割して考えましょう。

x の下側の部分は、錯角を考えて、70度とわかります。上側の部分も、錯角を考えて、\[
180-135=45 \]から、45度だとわかります。この2つを足せば x の大きさになるので、\[
70+45=115 \]だから、115度が答えだとわかります。

解答

う: 1
え: 1
お: 5

解答編 つづき

問題

[問9] 右の図2のように、円O の周上に点P、円O の内部に点Q がある。
 点P が点Q に重なるように1回だけ折るとき、折り目と重なる直線 $\ell$ を、定規とコンパスを用いて作図し、直線 $\ell$ を示す文字 $\ell$ も書け。
 ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

図2

解説

PQ が重なるように折るため、折り目は線対称の軸となります。これは、線分 PQ の垂直二等分線をかけばいいですね。

解答