共通テスト 数学II・数学B 2021年度 第5問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$1辺の長さが $1$ の正五角形の対角線の長さを $a$ とする。

(1) 1辺の長さが $1$ の正五角形 $\mathrm{ OA_1B_1C_1A_2 }$ を考える。

 $\angle \mathrm{ A_1C_1B_1 }=\myBox{アイ}^{\circ}$, $\angle \mathrm{ C_1A_1A_2 }=\mybox{アイ}^{\circ}$ となることから、 $\overrightarrow{ \mathrm{ A_1A_2 } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ B_1C_1 } }$ は平行である。ゆえに\[ \overrightarrow{ \mathrm{ A_1A_2 } }=\myBox{ウ}\overrightarrow{ \mathrm{ B_1C_1 } } \]であるから\[ \overrightarrow{ \mathrm{ B_1C_1 } }=\dfrac{1}{\mybox{ウ}}\overrightarrow{ \mathrm{ A_1A_2 } }=\frac{1}{\mybox{ウ}} \left(\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }\right) \]

 また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ A_2B_1 } }$ は平行で、さらに、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ A_1C_1 } }$ も平行であることから
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ B_1C_1 } }
&=&
\overrightarrow{ \mathrm{ B_1A_2 } }+\overrightarrow{ \mathrm{ A_2O } }+\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }+\overrightarrow{ \mathrm{ A_1C_1 } } \\[5pt] &=&
-\mybox{ウ}\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }+\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }+\mybox{ウ}\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } } \\[5pt] &=&
\left(\myBox{エ}-\myBox{オ}\right)\left(\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }\right)
\end{eqnarray}となる。したがって\[ \frac{1}{\mybox{ウ}}=\mybox{エ}-\mybox{オ} \]が成り立つ。 $a\gt 0$ に注意してこれを解くと、 $a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ を得る。

(2) 下の図のような、1辺の長さが $1$ の正十二面体を考える。正十二面体とは、どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである。

 面 $\mathrm{ OA_1B_1C_1A_2 }$ に着目する。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ A_2B_1 } }$ が平行であることから\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OB_1 } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }+\overrightarrow{ \mathrm{ A_2B_1 } } =\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }+\mybox{ウ}\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } } \]である。また\[ \left|\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }-\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }\right|^2=\left|\overrightarrow{ \mathrm{ A_1A_2 } }\right|^2=\frac{\myBox{カ}+\sqrt{\myBox{キ}}}{\myBox{ク}} \]に注意すると\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }=\frac{\myBox{ケ}-\sqrt{\myBox{コ}}}{\myBox{サ}} \]を得る。

 ただし、 $\mybox{カ}$ ~ $\mybox{サ}$ は、文字 $a$ を用いない形で答えること。


 次に、面 $\mathrm{ OA_2B_2C_2A_3 }$ に着目すると\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OB_2 } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA_3 } }+\mybox{ウ}\overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } } \]である。さらに\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OA_2 } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OA_3 } } = \overrightarrow{ \mathrm{ OA_3 } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } } =\frac{\mybox{ケ}-\sqrt{\mybox{コ}}}{\mybox{サ}} \]が成り立つことがわかる。ゆえに
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{ \mathrm{ OA_1 } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OB_2 } }=\myBox{シ} \\[5pt] \overrightarrow{ \mathrm{ OB_1 } }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{ OB_2 } }=\myBox{ス} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

$\mybox{シ}, \mybox{ス}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $1$

 2: $-1$

 3: $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

 4: $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

 5: $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

 6: $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$

 7: $-\dfrac{1}{2}$

 8: $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$

 9: $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}$


 最後に、面 $\mathrm{ A_2C_1DEB_2 }$ に着目する。\[ \overrightarrow{ \mathrm{ B_2D } }=\mybox{ウ} \overrightarrow{ \mathrm{ A_2C_1 } } =\overrightarrow{ \mathrm{ OB_1 } } \]であることに注意すると、4点 $\mathrm{ O, B_1, D, B_2 }$ は同一平面上にあり、四角形 $\mathrm{ OB_1DB_2 }$ は $\myBox{セ}$ ことがわかる。

$\mybox{セ}$ の解答群

 0: 正方形である
 1: 正方形ではないが、長方形である
 2: 正方形ではないが、ひし形である
 3: 長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である
 4: 平行四辺形ではないが、台形である
 5: 台形でない

ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

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考え方

正十二面体が出てきて、かなりやっかいな見た目をしています。しかし、誘導が親切なので見た目ほど怖くはありません。 $a$ の値も書いてくれているし、計算結果もところどころ書いてくれているので、やさしさが感じられます。

最後の設問も、ベクトルを使わなくてもある程度は絞れます。図形からわかることも利用して解いていきましょう。

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