共通テスト 数学II・数学B 2021年度 第3問 解説

【第3問~第5問から2問選択】

問題編

問題

(正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}\def\dBox#1{\bbox[4px, border: 2px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ \bf{ #1 }\ } }}\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[2px, border: 1px solid ]{\ #1\ } }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

 Q高校の校長先生は、ある日、新聞で高校生の読書に関する記事を読んだ。そこで、Q高校の生徒全員を対象に、直線の1週間の読書時間に関して、100人の生徒を無作為に抽出して調査を行った。その結果、100人の生徒のうち、この1週間に全く読書をしなかった生徒が36人であり、100人の生徒のこの1週間の読書時間(分)の平均値は $204$ であった。Q高校の生徒全員のこの1週間の読書時間の母平均を $m$、母標準偏差を $150$ とする。

(1) 全く読書をしなかった生徒の母比率を $0.5$ とする。このとき、100人の無作為標本のうちで全く読書をしなかった生徒の数を表す確率変数を $X$ とすると、 $\dBox{ア}$ に従う。また、 $X$ の平均(期待値)は $\myBox{イウ}$ 、標準偏差は $\myBox{エ}$ である。

$\dbox{ア}$ については、最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: 正規分布 $N(0,1)$
 1: 二項分布 $B(0,1)$
 2: 正規分布 $N(100,0.5)$
 3: 二項分布 $B(100,0.5)$
 4: 正規分布 $N(100,36)$
 5: 二項分布 $B(100,36)$

(2) 標本の大きさ100は十分に大きいので、100人のうち全く読書をしなかった生徒の数は近似的に正規分布に従う。

 全く読書をしなかった生徒の母比率を $0.5$ とするとき、全く読書をしなかった生徒が36人以下となる確率を $p_5$ とおく。 $p_5$ の近似値を求めると、 $p_5=\dBox{オ}$ である。

 また、全く読書をしなかった生徒の母比率を $0.4$ とするとき、全く読書をしなかった生徒が36人以下となる確率を $p_4$ とおくと、 $\dBox{カ}$ である。

$\dbox{オ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: 0.001
 1: 0.003
 2: 0.026
 3: 0.050
 4: 0.133
 5: 0.497

$\dbox{カ}$ の解答群

 0: $p_4\lt p_5$
 1: $p_4= p_5$
 2: $p_4\gt p_5$

(3) 1週間の読書時間の母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間を $C_1\leqq m \leqq C_2$ とする、標本の大きさ $100$ は十分大きいことと、1週間の読書時間の標本平均が $204$ 、母標準偏差が $150$ であることを用いると、 $C_1+C_2=\myBox{キクケ}$ 、 $C_2-C_1=\myBox{コサ}.\myBox{シ}$ であることがわかる、

 また、母平均 $m$ と $C_1$, $C_2$ については、 $\dBox{ス}$ 。

$\dbox{ス}$ の解答群

 0: $C_1\leqq m \leqq C_2$ が必ず成り立つ

 1: $m \leqq C_2$ は必ず成り立つが、 $C_1 \leqq m$ が成り立つとは限らない

 2: $C_1\leqq m$ は必ず成り立つが、 $m \leqq C_2$ が成り立つとは限らない

 3: $C_1\leqq m$ も $m \leqq C_2$ も成り立つとは限らない

(4) Q高校の図書委員長も、校長先生と同じ新聞記事を読んだため、校長先生が調査をしていることを知らずに、図書委員会として校長先生と同様の調査を独自に行った。ただし、調査期間は校長先生による調査と同じ直前の1週間であり、対象をQ高校の生徒全員として100人の生徒を無作為に抽出した。その調査における、全く読書をしなかった生徒の数を $n$ とする。

 校長先生の調査結果によると全く読書をしなかった生徒は36人であり、 $\dBox{セ}$ 。

$\dbox{セ}$ の解答群

 0: $n$ は必ず36に等しい
 1: $n$ は必ず36未満である
 2: $n$ は必ず36より大きい
 3: $n$ と36の大小はわからない

(5) (4)の図書委員会が行った調査結果による母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を $D_1\leqq m \leqq D_2$ 、校長先生が行った調査結果による母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を (3) の $C_1\leqq m \leqq C_2$ とする。ただし、母集団は同一であり、1週間の読書時間の母標準偏差は 150 とする。

 このとき、次の 0 ~ 5 のうち、正しいものは $\dBox{ソ}$ と $\dBox{タ}$ である。

$\dbox{ソ}$, $\dbox{タ}$ の解答群(解答の順序は問わない。)

 0: $C_1=D_1$ と $C_2=D_2$ が必ず成り立つ。

 1: $C_1\lt D_2$ または $D_1\lt C_2$ のどちらか一方のみが必ず成り立つ。

 2: $D_2\lt C_1$ または $C_2\lt D_1$ となる場合もある。

 3: $C_2-C_1 \gt D_2-D_1$ が必ず成り立つ。

 4: $C_2-C_1 = D_2-D_1$ が必ず成り立つ。

 5: $C_2-C_1 \lt D_2-D_1$ が必ず成り立つ。

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考え方

センター試験に比べると計算は減りました。一方、それぞれの用語が何を表しているかをきちんと理解していないと、何を答えればいいかわからない問題があります。

計算方法だけでなく、それが何を意味しているかを普段から意識するようにしましょう。

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