共通テスト 数学II・数学B 2021年度 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

$\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 座標平面上で、次の二つの2次関数のグラフについて考える。
\begin{eqnarray}
y&=& 3x^2+2x+3\quad \cdots ① \\[5pt] y&=& 2x^2+2x+3\quad \cdots ②
\end{eqnarray}

 ①, ②の2次関数のグラフには、次の共通点がある。

共通点

  • $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\myBox{ア}$ である。
  • $y$ 軸との交点における接線の方程式は $y=\myBox{イ}x+\myBox{ウ}$ である。

 次の 0 ~ 5 の2次関数のグラフのうち、 $y$ 軸との交点における接線の方程式が $y=\mybox{イ}x+\mybox{ウ}$ となるものは $\myBox{エ}$ である。

$\mybox{エ}$ の解答群

 0: $y=3x^2-2x-3$
 1: $y=-3x^2+2x-3$
 2: $y=2x^2+2x-3$
 3: $y=2x^2-2x+3$
 4: $y=-x^2+2x+3$
 5: $y=-x^2-2x+3$

 $a,b,c$ を $0$ でない実数とする。

 曲線 $y=ax^2+bx+c$ 上の点 $\left(0,\myBox{オ}\right)$ における接線を $\ell$ とすると、その方程式は $y=\myBox{カ}x+\myBox{キ}$ である。

 接線 $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $\dfrac{\myBox{クケ}}{\myBox{コ}}$ である。

 $a,b,c$ が正の実数であるとき、曲線 $y=ax^2+bx+c$ と接線 $\ell$ および直線 $x=\dfrac{\mybox{クケ}}{\mybox{コ}}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると\[ S=\dfrac{ac^{\myBox{サ}}}{\myBox{シ}\ b^{\myBox{ス}}} \quad\cdots③ \]である。

 ③において、 $a=1$ とし、 $S$ の値が一定となるように正の実数 $b,c$ の値を変化させる。このとき、 $b$ と $c$ の関係を表すグラフの概形は $\myBox{セ}$ である。

 $\mybox{セ}$ については、最も適当なものを、次の 0 から 5 のうちから一つ選べ。

(注意:少し見にくいですが、軸上の点は白丸です)

0

1

2

3

4

5

(2) 座標平面上で、次の三つの3次関数のグラフについて考える。
\begin{eqnarray}
y &=& 4x^3+2x^2+3x+5 \quad \cdots ④ \\[5pt] y &=& -2x^3+7x^2+3x+5 \quad \cdots ⑤ \\[5pt] y &=& 5x^3-x^2+3x+5 \quad \cdots ⑥ \\[5pt] \end{eqnarray}

 ④, ⑤, ⑥の3次関数のグラフには次の共通点がある。

共通点

  • $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\myBox{ソ}$ である。
  • $y$ 軸との交点における接線の方程式は $y=\myBox{タ}x+\myBox{チ}$ である。

 $a,b,c,d$ を $0$ でない実数とする。

 曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ 上の点 $\left(0,\myBox{ツ}\right)$ における接線の方程式は $y=\myBox{テ}x+\myBox{ト}$ である。

 次に、 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $g(x)=\mybox{テ}x+\mybox{ト}$ とし、 $f(x)-g(x)$ について考える。

 $h(x)=f(x)-g(x)$ とおく。 $a,b,c,d$ が正の実数であるとき、 $y=h(x)$ のグラフの概形は $\myBox{ナ}$ である。

 $y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフの共有点の $x$ 座標は $\dfrac{\myBox{ニヌ}}{\myBox{ネ}}$ と $\myBox{ノ}$ である。また、 $x$ が $\dfrac{\mybox{ニヌ}}{\mybox{ノ}}$ と $\mybox{ノ}$ の間を動くとき、 $|f(x)-g(x)|$ の値が最大となるのは、 $x=\dfrac{\myBox{ハヒフ}}{\myBox{ヘホ}}$ のときである。

 $\mybox{ナ}$ については、最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

0

1

2

3

4

5

【広告】
河合塾数学科の考える「思考力・判断力・表現力」をまとめ、これに基づいて過去の入試問題を分析し、その中から思考力を養うために経験しておきたい問題を収集し解答・解説を収録。また、思考調査の問題を参考にして「共通テスト型問題」を作成。
著者:河合塾数学科
出版社:河合出版
発売日:2018-06-01
ページ数:125 ページ
値段:¥1,430
(2020年09月 時点の情報です)

考え方

文字が入ったまま計算するのは慣れていないと難しいかもしれません。面積 $S$ を求めるために図をかきたくなりますが、値がわからないので具体的な図はかけません。しかし、面積を求めるのに必要な位置関係さえわかれば、面積を求めることはできます。

(2)のグラフを求める問題は、 $x$ 軸との共有点について考えるといいでしょう。

1 2