共通テスト 数学II・数学B 2021年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 次の問題Aについて考えよう。

問題A

関数 $y=\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$ $\left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の最大値を求めよ。

\[ \sin\frac{\pi}{\myBox{ア}}=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \cos\frac{\pi}{\mybox{ア}}=\frac{1}{2} \]であるから、三角関数の合成により\[ y=\myBox{イ} \sin\left(\theta+\frac{\pi}{\mybox{ア}}\right) \]と変形できる。よって、 $y$ は $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{ウ}}$ で最大値 $\myBox{エ}$ をとる。

(2) $p$ を定数とし、次の問題Bについて考えよう。

問題B

関数 $y=\sin\theta+p\cos\theta$ $\left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の最大値を求めよ。

(i) $p=0$ のとき、 $y$ は $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{オ}}$ で最大値 $\myBox{カ}$ をとる。

(ii) $p\gt 0$ のときは、加法定理\[ \cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha \]を用いると\[ y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\myBox{キ}}\cos(\theta-\alpha) \]と表すことができる。ただし、 $\alpha$ は\[ \sin\alpha=\frac{\myBox{ク}}{\sqrt{\mybox{キ}}},\ \cos\alpha=\frac{\myBox{ケ}}{\sqrt{\mybox{キ}}},\ 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2} \]を満たすものとする。このとき、 $y$ は $\theta=\myBox{コ}$ で最大値 $\sqrt{\myBox{サ}}$ をとる。

(iii) $p\lt 0$ のとき、 $y$ は $\theta=\myBox{シ}$ で最大値 $\myBox{ス}$ をとる。

$\mybox{キ}$ ~ $\mybox{ケ}$、$\mybox{サ}$、$\mybox{ス}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $-1$
 1: $1$
 2: $-p$

 3: $p$
 4: $1-p$
 5: $1+p$

 6: $-p^2$
 7: $p^2$
 8: $1-p^2$

 9: $1+p^2$
 a: $(1-p)^2$
 b: $(1+p)^2$

$\mybox{コ}$、$\mybox{シ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $\alpha$

 2: $\dfrac{\pi}{2}$

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(2021年09月 時点の情報です)

考え方

前半の合成は $\sin$ を用いた合成なので、教科書にもよくのっているものです。しかし、後半は $\cos$ を用いた合成なので、合成方法をよく理解していないと解答するのは難しいかもしれません。

(2)(ii)で答えを求めた後は、(1)の結果で検算をしてみましょう。 $p=\sqrt{3}$ とすれば同じ答えに行きつくはずです。

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