共通テスト 数学II・数学B 2021年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

(1) 次の問題Aについて考えよう。

問題A
関数 $y=\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$ $\left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の最大値を求めよ。

\[ \sin\frac{\pi}{\myBox{ア} }=\frac{\sqrt{3} }{2},\ \cos\frac{\pi}{\mybox{ア} }=\frac{1}{2} \]であるから、三角関数の合成により\[ y=\myBox{イ} \sin\left(\theta+\frac{\pi}{\mybox{ア} }\right) \]と変形できる。よって、 $y$ は $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{ウ} }$ で最大値 $\myBox{エ}$ をとる。

(2) $p$ を定数とし、次の問題Bについて考えよう。

問題B
関数 $y=\sin\theta+p\cos\theta$ $\left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の最大値を求めよ。

(i) $p=0$ のとき、 $y$ は $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{オ} }$ で最大値 $\myBox{カ}$ をとる。

(ii) $p\gt 0$ のときは、加法定理\[ \cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha \]を用いると\[ y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\myBox{キ} }\cos(\theta-\alpha) \]と表すことができる。ただし、 $\alpha$ は\[ \sin\alpha=\frac{\myBox{ク} }{\sqrt{\mybox{キ} }},\ \cos\alpha=\frac{\myBox{ケ} }{\sqrt{\mybox{キ} }},\ 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2} \]を満たすものとする。このとき、 $y$ は $\theta=\myBox{コ}$ で最大値 $\sqrt{\myBox{サ} }$ をとる。

(iii) $p\lt 0$ のとき、 $y$ は $\theta=\myBox{シ}$ で最大値 $\myBox{ス}$ をとる。

$\mybox{キ}$ ～ $\mybox{ケ}$、$\mybox{サ}$、$\mybox{ス}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $-1$
　1: $1$
　2: $-p$

　3: $p$
　4: $1-p$
　5: $1+p$

　6: $-p^2$
　7: $p^2$
　8: $1-p^2$

　9: $1+p^2$
　a: $(1-p)^2$
　b: $(1+p)^2$

$\mybox{コ}$、$\mybox{シ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $0$

　1: $\alpha$

　2: $\dfrac{\pi}{2}$

考え方

前半の合成は $\sin$ を用いた合成なので、教科書にもよくのっているものです。しかし、後半は $\cos$ を用いた合成なので、合成方法をよく理解していないと解答するのは難しいかもしれません。

(2)(ii)で答えを求めた後は、(1)の結果で検算をしてみましょう。 $p=\sqrt{3}$ とすれば同じ答えに行きつくはずです。

解答編

問題

(1) 次の問題Aについて考えよう。

問題A
関数 $y=\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$ $\left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の最大値を求めよ。

\[ \sin\frac{\pi}{\myBox{ア} }=\frac{\sqrt{3} }{2},\ \cos\frac{\pi}{\mybox{ア} }=\frac{1}{2} \]であるから、三角関数の合成により\[ y=\myBox{イ} \sin\left(\theta+\frac{\pi}{\mybox{ア} }\right) \]と変形できる。よって、 $y$ は $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{ウ} }$ で最大値 $\myBox{エ}$ をとる。

解説

$\sin\theta$ と $\cos\theta$ が同時に動くと変化の仕方がわかりづらいので、合成を用いて変形します。もし、\[ y=r\sin(\theta+a) \]と変形できたとすると、加法定理から\[ y=r\sin\theta\cos a+r\cos\theta\sin a \]となります。これが $\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$ となるには、 $r\cos a=1$, $r\sin a=\sqrt{3}$ となればいいです。それぞれを2乗して足せば $r=2$ で、 $\sin a=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$, $\cos a=\dfrac{1}{2}$ となればいいことがわかります。こうして、 $a=\dfrac{\pi}{3}$ とすればよいことがわかり、
\begin{eqnarray} y &=& 2\sin\left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \end{eqnarray}と変形できます。 $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くことから、 $y$ は、 $\dfrac{\pi}{6}$ のときに最大値 $2$ をとることがわかります。

解答

ア：3
イ：2
ウ：6
エ：2

解答編 つづき

(2) $p$ を定数とし、次の問題Bについて考えよう。

問題B
関数 $y=\sin\theta+p\cos\theta$ $\left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の最大値を求めよ。

(i) $p=0$ のとき、 $y$ は $\theta=\dfrac{\pi}{\myBox{オ} }$ で最大値 $\myBox{カ}$ をとる。

解説

$p=0$ のとき、 $y=\sin\theta$ なので、 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときに最大値 $1$ をとります。

解答

オ：2
カ：1

解答編 つづき

(ii) $p\gt 0$ のときは、加法定理\[ \cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha \]を用いると\[ y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\myBox{キ} }\cos(\theta-\alpha) \]と表すことができる。ただし、 $\alpha$ は\[ \sin\alpha=\frac{\myBox{ク} }{\sqrt{\mybox{キ} }},\ \cos\alpha=\frac{\myBox{ケ} }{\sqrt{\mybox{キ} }},\ 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2} \]を満たすものとする。このとき、 $y$ は $\theta=\myBox{コ}$ で最大値 $\sqrt{\myBox{サ} }$ をとる。

(iii) $p\lt 0$ のとき、 $y$ は $\theta=\myBox{シ}$ で最大値 $\myBox{ス}$ をとる。

$\mybox{キ}$ ～ $\mybox{ケ}$、$\mybox{サ}$、$\mybox{ス}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
　0: $-1$
　1: $1$
　2: $-p$

　3: $p$
　4: $1-p$
　5: $1+p$

　6: $-p^2$
　7: $p^2$
　8: $1-p^2$

　9: $1+p^2$
　a: $(1-p)^2$
　b: $(1+p)^2$

$\mybox{コ}$、$\mybox{シ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $0$

　1: $\alpha$

　2: $\dfrac{\pi}{2}$

解説

まず、 $p\gt 0$ の場合を考えます。

$y=r\cos(\theta-\alpha)$ と変形できたとすると、加法定理から\[ y=r(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha) \]となります。これが $y=\sin\theta+p\cos\theta$ となるには、\[ r\sin\alpha=1,\ r\cos\alpha=p \]となればいいです。それぞれを2乗して足すと、\[ r^2=1+p^2 \]となるので、 $r=\sqrt{1+p^2}$ とすればいいです。また、\[ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+p^2} },\ \cos\alpha=\frac{p}{\sqrt{1+p^2} } \]とすれば、もとの式と等しくなります。 $\sin$ も $\cos$ も正の値なので、 $\alpha$ は鋭角となるようにとることができます。

このように変形すれば、 $\sqrt{1+p^2}\cos(\theta-\alpha)$ は $\theta=\alpha$ で最大値 $\sqrt{1+p^2}$ をとることがわかります。

次に $p\lt 0$ の場合を考えます。

この場合も同じように $y=\sqrt{1+p^2}\cos(\theta-\alpha)$ と変形できますが、この $\alpha$ は\[ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+p^2} },\ \cos\alpha=\frac{p}{\sqrt{1+p^2} } \]を満たすようにとっているので、今考えているケースでは、 $\alpha$ は鈍角になります。そのため、 $\cos(\theta-\alpha)$ は $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときに最大となります。このときの $y$ の値は
\begin{eqnarray} y &=& \sqrt{1+p^2}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \\[5pt] &=& \sqrt{1+p^2}\sin\alpha \\[5pt] &=& 1 \end{eqnarray}となります。

解答

キ：9
ク：1
ケ：3
コ：1
サ：9
シ：2
ス：1