共通テスト 数学I・数学A 2022年度 第3問 解説

【第3問～第5問から2問選択】

問題編

問題

　複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。

手順
　外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。

　交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。

(1) 2人または3人で交換会を開く場合を考える。

(i) 2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は $\myBox{ア}$ 通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{イ} }{\myBox{ウ} }$ である。

(ii) 3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は $\myBox{エ}$ 通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ である。

(iii) 3人で交換会を開く場合、4回目以下の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{キク} }{\myBox{ケコ} }$ である。

(2) 4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を次の構想に基づいて求めてみよう。

構想
　1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。

　1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は $\myBox{サ}$ 通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は $\myBox{シ}$ 通りある。このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は $\myBox{スセ}$ である。

　したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} }$ である。

(3) 5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{チツ} }{\myBox{テト} }$ である。

(4) A, B, C, D, E の5人が交換会を開く。1回目の交換で A, B, C, D がそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その回で交換会が終了する条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ} }{\myBox{ヌネ} }$ である。

考え方

前の問題をどのように使っていくかがわかれば、それほど難しくはないでしょう。そのまま計算するのは大変ですが、考えやすくなるようにヒントが示されているので、それを使いましょう。

なお、この問題は完全順列というものを扱っており、問題文に出てくる「1回目で交換会が終了する場合の数」は、モンモール数と呼ばれています。

解答編

問題

　複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。

手順
　外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。

　交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。

(1) 2人または3人で交換会を開く場合を考える。

(i) 2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は $\myBox{ア}$ 通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{イ} }{\myBox{ウ} }$ である。

解説

A, B の2人で考えます。また、それぞれ、持参したプレゼントを a, b と書くことにします。

交換後、A, B の受け取るプレゼントは、「a, b」か「b, a」の2通りあり、このうち終了するのは後者だけです。

そのため、1回目で終了する受け取り方は1通りで、1回目で終了する確率は $\dfrac{1}{2}$ です。

解答

ア：1
イウ：12

解答編 つづき

(ii) 3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は $\myBox{エ}$ 通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{オ} }{\myBox{カ} }$ である。

解説

A, B, C の3人で、プレゼントは a, b, c で表すことにしましょう。

交換後、A, B, C が受け取るプレゼントは次の6通りのケースがあります。

a, b, c
a, c, b
b, a, c
b, c, a
c, a, b
c, b, a

このうち、A が a を受け取らないものは3行目から6行目です。その中で、B が b を受け取らないものは6行目以外、C が c を受け取らないものは4行目以外です。

そのため、1回目で終了する受け取り方は2通りで、1回目で終了する確率は $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ です。

解答

エ：2
オカ：13

解答編 つづき

(iii) 3人で交換会を開く場合、4回目以下の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{キク} }{\myBox{ケコ} }$ である。

解説

交換は毎回リセットされるので、各回は独立して考えることができます。

「4回以下で終了する」をそのまま考えてもいいのですが、「4回目でも終了しない」を全体から引いたほうが簡単に計算できます。各回で、終了しない確率は $\dfrac{2}{3}$ なので、求める確率は
\begin{eqnarray} 1-\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{81-16}{81}=\frac{65}{81} \end{eqnarray}となります。

解答

キクケコ：6581

解答編 つづき

(2) 4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を次の構想に基づいて求めてみよう。

構想
　1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。

　1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は $\myBox{サ}$ 通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は $\myBox{シ}$ 通りある。このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は $\myBox{スセ}$ である。

　したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} }$ である。

解説

A, B, C, D の4人と、a, b, c, d の4つのプレゼントで考えます。

まず、4人のうち、1人だけが自分の持参したプレゼントを受け取る場合を考えてみます。もし、D が d を受け取ったとしましょう。そうすると、残りの3人は自分以外の人が持参したプレゼントを受け取ることになります。これは、まさに(1)の(ii)で A, B, C の場合で考えていたケースになります。なので、2通りです。

これを踏まえて、D 以外の場合も含めて考えます。4人のうち、どの人が「自分の持参したプレゼント」を受け取るか、この選び方が4通りあります。そして、残りの3人は、(1)の(ii)のケースになるので、結局、4人のうち1人だけが自分の持参したプレゼントを受け取る場合は\[ 4\times 2=8 \]通りあるとわかります。

次に、2人が自分のプレゼントを受け取る場合を考えます。もし、C と D が、それぞれ c と d を受け取ったとしましょう。そうすると、残り2人は自分以外のプレゼントを受け取ることになりますが、これは(1)の(i)の内容です。

よって、自分のプレゼントを受け取る人の選び方が ${}_4\mathrm{C}_2$ 通りで、それぞれについて、残り2人は自分以外の人が持参したプレゼントを受け取るので、2人だけが自分のプレゼントを受け取る場合は、\[
{}_4\mathrm{C}_2\times 1=6 \]通りとなります。

なお、「3人だけが自分のプレゼントを受け取る」ケースはありえません。残りの1人は、自動的に自分のプレゼントになるからです。また、「4人が自分のプレゼントを受け取る」のは1通りあります。

以上から、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は\[ 8+6+1=15 \]通りとなります。

プレゼントの受け取り方は全部で $4!=24$ 通りあるので、1回目で終了する受け取り方は $24-15=9$ 通りです。よって、1回目の交換で交換会が終了する確率は\[ \frac{9}{24}=\frac{3}{8} \]となります。

解答

サ：8
シ：6
スセ：15
ソタ：38

解答編 つづき

(3) 5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は $\dfrac{\myBox{チツ} }{\myBox{テト} }$ である。

解説

(2)と同じように計算しましょう。

1人だけが自分のプレゼントを受け取る方法は、「自分のプレゼントを受け取る人」の選び方が 5通りあり、他の4人は、自分以外のプレゼントを受け取るので(2)より9通りあります。よって、こうなる場合の数は\[ 5\times9=45 \]通りです。

同様に、2人だけが自分のプレゼントを受け取る方法は\[ {}_5\mathrm{C}_2\times2=20 \]通りです。

3人だけが自分のプレゼントを受け取る方法は\[ {}_5\mathrm{C}_3\times 1=10 \]通りです。

4人だけが自分のプレゼントを受け取る方法はありません。5人が自分のプレゼントを受け取る方法は1通りです。

以上から、1回目で終了しない場合の数は\[ 45+20+10+1=76 \]通りとなります。

プレゼントの交換方法は、ぜんぶで $5!=120$ 通りなので、1回目で終了する確率は\[ 1-\frac{76}{120}=\frac{11}{30} \]となります。

解答

チツテト：1130

解答編 つづき

(4) A, B, C, D, E の5人が交換会を開く。1回目の交換で A, B, C, D がそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その回で交換会が終了する条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ} }{\myBox{ヌネ} }$ である。

解説

A, B, C, D がそれぞれ自分以外のプレゼントを受け取り、 E は自分のプレゼントを受け取る確率を考えます。この場合、E については $\dfrac{1}{5}$ で、A, B, C, D は(2)より $\dfrac{3}{8}$ だから、こうなる確率は\[ \dfrac{1}{5}\times\frac{3}{8}=\dfrac{3}{40} \]となります。

一方、A, B, C, D, E がそれぞれ自分以外のプレゼントを受け取る確率は、(3)より $\dfrac{11}{30}$ です。

以上から、求める条件付き確率は
\begin{eqnarray} \frac{\frac{11}{30} }{\frac{3}{40}+\frac{11}{30} } &=& \frac{44}{9+44}=\frac{44}{53} \end{eqnarray}となります。

解答

ナニヌネ：4453