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共通テスト 数学I・数学A 2022年度 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】
(三角比の表は省略しています)

問題編

問題

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて41ページの三角比の表を用いてもよい。

 太郎さんと花子さんは、キャンプ場のガイドブックにある地図を見ながら、後のように話している。

太郎:キャンプ場の地点 A から山頂 B を見上げる角度はどれくらいかな。
花子:地図アプリを使って、地点 A と山頂 B を含む断面図を調べたら、図1のようになったよ。点 C は山頂 B から地点 A を通る水平面に下した垂線とその水平面との交点のことだよ。
太郎:図1の角度 $\theta$ は、 ACBC の長さを定規で測って、三角比の表を用いて調べたら $16^{\circ}$ だったよ。
花子:本当に $16^{\circ}$ なの? 図1の鉛直方向の縮尺と水平方向の縮尺は等しいのかな?

 図1の $\theta$ はちょうど $16^{\circ}$ であったとする。しかし、図1の縮尺は、水平方向が $\dfrac{1}{100000}$ であるのに対して、鉛直方向は $\dfrac{1}{25000}$ であった。

 実際にキャンプ場の地点 A から山頂を見上げる角である $\angle \mathrm{ BAC }$ を考えると、 $\tan\angle \mathrm{ BAC }$ は $\myBox{コ}.\myBox{サシス}$ となる。したがって、 $\angle \mathrm{ BAC }$ の大きさは $\dBox{セ}$ 。ただし、目の高さは無視して考えるものとする。

 $\dbox{セ}$ の解答群

 0: $3^{\circ}$ より大きく $4^{\circ}$ より小さい
 1: ちょうど $4^{\circ}$ である
 2: $4^{\circ}$ より大きく $5^{\circ}$ より小さい
 3: ちょうど $16^{\circ}$ である
 4: $48^{\circ}$ より大きく $49^{\circ}$ より小さい
 5: ちょうど $49^{\circ}$ である
 6: $49^{\circ}$ より大きく $50^{\circ}$ より小さい
 7: $63^{\circ}$ より大きく $64^{\circ}$ より小さい
 8: ちょうど $64^{\circ}$ である
 9: $64^{\circ}$ より大きく $65^{\circ}$ より小さい

考え方

鉛直方向と水平方向の長さを変換して考えます。何か1つの長さを基準にして、登場するいろんな長さを表すようにすると計算しやすいでしょう。


【必答問題】

解答編

問題

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて41ページの三角比の表を用いてもよい。

 太郎さんと花子さんは、キャンプ場のガイドブックにある地図を見ながら、後のように話している。

太郎:キャンプ場の地点 A から山頂 B を見上げる角度はどれくらいかな。
花子:地図アプリを使って、地点 A と山頂 B を含む断面図を調べたら、図1のようになったよ。点 C は山頂 B から地点 A を通る水平面に下した垂線とその水平面との交点のことだよ。
太郎:図1の角度 $\theta$ は、 ACBC の長さを定規で測って、三角比の表を用いて調べたら $16^{\circ}$ だったよ。
花子:本当に $16^{\circ}$ なの? 図1の鉛直方向の縮尺と水平方向の縮尺は等しいのかな?

 図1の $\theta$ はちょうど $16^{\circ}$ であったとする。しかし、図1の縮尺は、水平方向が $\dfrac{1}{100000}$ であるのに対して、鉛直方向は $\dfrac{1}{25000}$ であった。

 実際にキャンプ場の地点 A から山頂を見上げる角である $\angle \mathrm{ BAC }$ を考えると、 $\tan\angle \mathrm{ BAC }$ は $\myBox{コ}.\myBox{サシス}$ となる。したがって、 $\angle \mathrm{ BAC }$ の大きさは $\dBox{セ}$ 。ただし、目の高さは無視して考えるものとする。

 $\dbox{セ}$ の解答群

 0: $3^{\circ}$ より大きく $4^{\circ}$ より小さい
 1: ちょうど $4^{\circ}$ である
 2: $4^{\circ}$ より大きく $5^{\circ}$ より小さい
 3: ちょうど $16^{\circ}$ である
 4: $48^{\circ}$ より大きく $49^{\circ}$ より小さい
 5: ちょうど $49^{\circ}$ である
 6: $49^{\circ}$ より大きく $50^{\circ}$ より小さい
 7: $63^{\circ}$ より大きく $64^{\circ}$ より小さい
 8: ちょうど $64^{\circ}$ である
 9: $64^{\circ}$ より大きく $65^{\circ}$ より小さい

解説

図1上で $\mathrm{ AC }=x$ とすると、 $\mathrm{ BC }=x\tan 16^{\circ}$ となります。

実際の距離は、縮尺を考えて $\mathrm{AC}$ が $100000x$ であり、 $\mathrm{BC}=25000x\tan 16^{\circ}$ となります。なので、実際の角で考えると $\tan16^{\circ}=0.2867$ であることも用いて
\begin{eqnarray} \tan\angle \mathrm{ BAC } &=& \frac{25000x\tan 16^{\circ} }{100000x} \\[5pt] &=& \frac{\tan 16^{\circ} }{4} \\[5pt] &=& \frac{0.2867}{4} \\[5pt] &=& 0.071675 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。小数第4位を四捨五入すると $0.072$ となります。

三角比の表を見ると、 $\tan4^{\circ}=0.0699$ と $\tan5^{\circ}=0.0875$ から、 $\angle \mathrm{ BAC }$ は $4^{\circ}$ より大きく、 $5^{\circ}$ より小さいことがわかります。

解答

コサシス:0072
セ:2

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