共通テスト 数学I・数学A 2022年度 第1問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　外接円の半径が $3$ である $\triangle \mathrm{ ABC }$ を考える。点 A から直線 BC に引いた垂線と直線 BC との交点を D とする。

(1) $\mathrm{ AB }=5$, $\mathrm{ AC }=4$ とする。このとき
\begin{eqnarray} \sin\angle \mathrm{ ABC }=\dfrac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} } \\[5pt] \mathrm{ AD }=\dfrac{\myBox{チツ} }{\myBox{ト} } \\[5pt] \end{eqnarray}である。

(2) 2辺 AB, AC の長さの間に $2\mathrm{ AB }+\mathrm{ AC }=14$ の関係があるとする。

　このとき、AB の長さのとり得る値の範囲は $\myBox{ト}\leqq \mathrm{ AB }\leqq \myBox{ナ}$ であり\[ \mathrm{ AD }=\dfrac{\myBox{ニヌ} }{\myBox{ネ} }\mathrm{ AB }^2+\dfrac{\myBox{ノ} }{\myBox{ハ} }\mathrm{ AB } \]と表せるので、 AD の長さの最大値は $\myBox{ヒ}$ である。

考え方

(2)では、外接円の大きさが決まっていることから、AB や AC のとれる値が限定されることに注目して考えます。あまり見ない流れなので、少し思いつきにくいかもしれません。

解答編

問題

　外接円の半径が $3$ である $\triangle \mathrm{ ABC }$ を考える。点 A から直線 BC に引いた垂線と直線 BC との交点を D とする。

(1) $\mathrm{ AB }=5$, $\mathrm{ AC }=4$ とする。このとき
\begin{eqnarray} \sin\angle \mathrm{ ABC }=\dfrac{\myBox{ソ} }{\myBox{タ} } \\[5pt] \mathrm{ AD }=\dfrac{\myBox{チツ} }{\myBox{ト} } \\[5pt] \end{eqnarray}である。

解説

正弦定理より
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AC } }{\sin\angle \mathrm{ ABC } } &=& 2\cdot 3 \\[5pt] \frac{4}{\sin\angle \mathrm{ ABC } } &=& 6 \\[5pt] \sin\angle \mathrm{ ABC } &=& \frac{2}{3} \end{eqnarray}となります。

また、\[ \mathrm{ AD }=\mathrm{ AB }\sin\angle \mathrm{ ABC }=\frac{10}{3} \]となります。

解答

ソタ：23
チツテ：103

解答編 つづき

(2) 2辺 AB, AC の長さの間に $2\mathrm{ AB }+\mathrm{ AC }=14$ の関係があるとする。

　このとき、AB の長さのとり得る値の範囲は $\myBox{ト}\leqq \mathrm{ AB }\leqq \myBox{ナ}$ であり\[ \mathrm{ AD }=\dfrac{\myBox{ニヌ} }{\myBox{ネ} }\mathrm{ AB }^2+\dfrac{\myBox{ノ} }{\myBox{ハ} }\mathrm{ AB } \]と表せるので、 AD の長さの最大値は $\myBox{ヒ}$ である。

解説

外接円の半径が $3$ なので、辺の長さは最大でも外接円の直径です。 $\mathrm{ AB }=6$ とすると、 $\mathrm{ AC }=2$ なので、このような三角形は存在します。これより長くなることはありません。

また、 $\mathrm{ AC }=6$ とすると、条件式から $\mathrm{AB}=4$ であり、このような三角形は存在します。これより短くなることはありません。

よって、 $4\leqq \mathrm{ AB }\leqq 6$ となります（厳密には、この間の値をすべてとることを確かめる必要がありますが）。

(1)と同様にすると、正弦定理から
\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{ AC } }{\sin\angle \mathrm{ ABC } } &=& 2\cdot 3 \\[5pt] \frac{\mathrm{ AC } }{6} &=& \sin\angle \mathrm{ ABC } \\[5pt] \end{eqnarray}なので \begin{eqnarray} \mathrm{ AD } &=& \mathrm{ AB }\sin\angle \mathrm{ BAC } \\[5pt] &=& \mathrm{ AB } \cdot\frac{\mathrm{AC} }{6} \\[5pt] &=& \mathrm{ AB } \cdot\frac{14-2\mathrm{AB} }{6} \\[5pt] &=& -\frac{1}{3}\mathrm{ AB }^2+\frac{7}{3} \mathrm{AB} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\mathrm{AB}=x$ とおくと \begin{eqnarray} & & -\frac{1}{3}x^2+\frac{7}{3}x \\[5pt] &=& -\frac{1}{3} \left(x-\frac{7}{2}\right)^2 +\frac{49}{12} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これは $4\leqq x\leqq 6$ の範囲では単調減少なので、 $x=4$ のときに最大値をとることがわかります。こうして、 $\mathrm{ AD }$ の最大値は\[ -\frac{4^2}{3}+\frac{7\cdot 4}{3}=4 \]となることがわかります。

解答