共通テスト数学I・数学A 2022年度第1問 [1] 解説

🕒 2022/01/16 🔄 2023/05/01

【必答問題】

問題編

問題

　実数 $a,b,c$ が\[ a+b+c=1 \quad \cdots ① \]および\[ a^2+b^2+c^2=13 \quad \cdots ② \]を満たしているとする。

(1) $(a+b+c)^2$ を展開した式において、①と②を用いると\[ ab+bc+ca=\myBox{アイ} \]であることがわかる。よって\[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=\myBox{ウエ} \]である。

(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求めてみよう。

　$b-c=x$, $c-a=y$ とおくと\[ x+y=\myBox{オカ}\sqrt{5} \]である。また、(1)の計算から\[ x^2+y^2=\myBox{キク} \]が成り立つ。

　これらより\[ (a-b)(b-c)(c-a)=\myBox{ケ}\sqrt{5} \]である。

考え方

よくある式の値を求める問題です。計算自体も、それほど複雑ではありません。

【必答問題】

解答編

問題

　実数 $a,b,c$ が\[ a+b+c=1 \quad \cdots ① \]および\[ a^2+b^2+c^2=13 \quad \cdots ② \]を満たしているとする。

(1) $(a+b+c)^2$ を展開した式において、①と②を用いると\[ ab+bc+ca=\myBox{アイ} \]であることがわかる。よって\[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=\myBox{ウエ} \]である。

解説

$(a+b+c)^2$ を展開すると
\begin{eqnarray} & & (a+b+c)^2 \\[5pt] &=& a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \\[5pt] &=& 13+2(ab+bc+ca) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって\[ ab+bc+ca=\frac{1^2-13}{2}=-6 \]となります。

これより
\begin{eqnarray} & & (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \\[5pt] &=& a^2-2ab+b^2 \\ & & +b^2-2bc+c^2 \\ & & +c^2-2ca+a^2 \\[5pt] &=& 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) \\[5pt] &=& 2\cdot13-2\cdot(-6) \\[5pt] &=& 26+12=38 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

アイ：-6
ウエ：38

解答編つづき

(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求めてみよう。

　$b-c=x$, $c-a=y$ とおくと\[ x+y=\myBox{オカ}\sqrt{5} \]である。また、(1)の計算から\[ x^2+y^2=\myBox{キク} \]が成り立つ。

　これらより\[ (a-b)(b-c)(c-a)=\myBox{ケ}\sqrt{5} \]である。

解説

$x+y=(b-c)+(c-a)=b-a=-2\sqrt{5}$ であり、
\begin{eqnarray} x^2+y^2 &=& (b-c)^2+(c-a)^2 \\[5pt] &=& (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 -(a-b)^2 \\[5pt] &=& 38 -(2\sqrt{5})^2 \\[5pt] &=& 38 -20 \\[5pt] &=& 18 \end{eqnarray}となります。これらから \begin{eqnarray} (x+y)^2 &=& (-2\sqrt{5})^2 \\[5pt] x^2+2xy+y^2 &=& 20 \\[5pt] 2xy &=& 20-18 \\[5pt] xy &=& 1 \\[5pt] (b-c)(c-a) &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。よって、\[ (a-b)(b-c)(c-a)=a-b=2\sqrt{5} \]となります。