京都大学 理学部特色入試 2022年度 第3問 解説

問題編

問題

 $\mathbb{ Z }^4$ を4つの整数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 全体のなす集合とする。このとき、以下の条件をすべて満たすような $\mathbb{ Z }^4$ の部分集合 $S$ が存在することを示せ。

(i) $(a_1,a_2,a_3,a_4)\in S$ ならば\[ (a_1)^2-(a_2)^2 +(a_3)^2-(a_4)^2=1 \]が成り立つ。

(ii) $S$ は無限集合である。

(iii) 6つの整数の組 $(d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6)$ で $(d_1,d_2,d_3,d_4)\ne(0,0,0,0)$ を満たす任意のものに対し、 $S$ の部分集合\[ \{ (a_1,a_2,a_3,a_4) \mid (a_1,a_2,a_3,a_4)\in S \ かつ \ d_1a_1+d_2a_2=d_5 \ かつ \ d_3a_3+d_4a_4=d_6 \} \]は有限集合である。

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考え方

そもそも(i)の条件がよくわからないですが、(ii)を見ると、少なくともこの条件を満たすものは無限個あることがわかります。

そこで、まずは(i)を満たすようなものを、いくつか具体的に作ってみましょう。そして、それをよく見て、どうやれば無限個作れるかを考えます。

うまく作れたら、(iii)の条件を考えましょう。恒等式のことを思い出して、係数がどうなっていたらいいかを考えましょう。

構成ができれば、示すこと自体は簡単です。構成までが本質です。

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