京都大学 理学部特色入試 2022年度 第2問 解説

問題編

問題

 半径 $1$ の円 $C$ の周上に相異なる5点 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ がこの順に並んでいるとし、
  $B_1$ を線分 $A_1A_3$ と線分 $A_2A_4$ の交点、
  $B_2$ を線分 $A_2A_4$ と線分 $A_3A_5$ の交点、
  $B_3$ を線分 $A_3A_5$ と線分 $A_4A_1$ の交点、
  $B_4$ を線分 $A_4A_1$ と線分 $A_5A_2$ の交点、
  $B_5$ を線分 $A_5A_2$ と線分 $A_1A_3$ の交点
とするとき、
  $S_1$ を $\triangle A_1B_5B_4$ の面積、
  $S_2$ を $\triangle A_2B_1B_5$ の面積、
  $S_3$ を $\triangle A_3B_2B_1$ の面積、
  $S_4$ を $\triangle A_4B_3B_2$ の面積、
  $S_5$ を $\triangle A_5B_4B_3$ の面積、
  $T$ を五角形 $B_1B_2B_3B_4B_5$ の面積
とおく。このように $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ を動かしたとき、\[ S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+2T \]の最大値を求めよ。
 ただし、三角比の値は具体的に求めずに用いてよい。

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考え方

問題文が長いですが、図をかいてみると、状況はシンプルだとわかります。何を考えないといけないかはすぐにわかります。また、最大となるのはどのようなときであるかも、すぐに予想できます。

問題はどうやって示すかです。5点が同時に動くのを考えるのは大変なので、図形的な性質から候補をしぼっていくことを考えましょう。点の配置の候補をしぼってから、変数を使って面積を表すことを考えましょう。

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