京都大学 理学部特色入試 2022年度 第1問 解説

問題編

問題

 $n$ を正の整数とする。 $P(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ を $x_1,x_2,\ldots,x_n$ の $n$ 個の文字についてのある実数係数の多項式とする。整数の列 $\{a_i\}$ が次の性質 $(*)$ を満たすと仮定する。

 (*) $n$ より大きいすべての整数 $i$ に対して $a_i=P(a_{i-n}, a_{i-n+1}, \ldots,a_{i-1})$

ただし、$P(a_{i-n}, a_{i-n+1}, \ldots,a_{i-1})$ は多項式 $P(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ の文字 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ にそれぞれ $a_{i-n}, a_{i-n+1}, \ldots,a_{i-1}$ を代入したものである。

 このとき、ある2つの正の実数 $c,d$ が存在して、すべての正の整数 $i$ に対して\[ a_i \lt c^{d^i} \]が成り立つことを示せ。

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考え方

抽象的で何を示せばいいかわかりづらいです。少ない文字、少ない次数で実験してみましょう。不明な値は適当に自分で名前をつけて、存在を示しましょう。

$c,d$ は $i$ とは関係のない値にしないといけない点に注意しましょう。

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