京都大学 理学部特色入試 2021年度 第4問 解説

問題編

問題

 $C$ を 1以上の実数、 $\{a_n\}$ を 0以上の整数からなる数列で $a_1=0$ 、 $a_2=1$ を満たすとする。 $xy$ 平面上の点 $\mathrm{A}_n=(a_n,a_{n+1})$ はすべての $n=1,2,3,\cdots$ について次の条件 (i), (ii), (iii) を満たすとする。

 (i) 3点 $\mathrm{A}_n$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}_{n+1}$ は同一直線上になく、三角形 $\mathrm{A}_n\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+1}$ と三角形 $\mathrm{A}_{n+1}\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+2}$ の内部は互いに交わらない。

 (ii) 三角形 $\mathrm{A}_n\mathrm{O}\mathrm{A}_{n+1}$ の面積は $C$ より小さい。

 (iii) $\angle\mathrm{A_1OA}_{n+1}\lt\dfrac{\pi}{4}$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\angle\mathrm{A_1OA}_{n+1}=\dfrac{\pi}{4}$ である。

ここで $\mathrm{O}$ は $xy$ 平面の原点を表す。以下の設問に答えよ。

(1) $C=100$ のとき、(i), (ii), (iii) を満たす数列 $\{a_n\}$ の例を1つ与えよ。

(2) 2以上の自然数 $n,m$ が $n\lt m$ を満たすとき、\[ 0\lt \dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\dfrac{a_{m+1}}{a_m} \leqq 2C \left(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_m}\right) \]となることを示せ。

(3) ある実数 $D$ が存在して、すべての自然数 $n$ について $a_{n+1}-a_n\leqq D$ となることを示せ。

(4) ある自然数 $n_0$ が存在して、点 $\mathrm{A}_{n_0},\mathrm{A}_{n_0+1},\mathrm{A}_{n_0+2},\cdots$ はすべて同一直線上にあることを示せ。

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(2020年09月 時点の情報です)

考え方

(1)は、シンプルな数列を使って、簡単に計算できるものを選びましょう。

(2)は、まず、面積を求めるために、点の位置関係を考えます。左側の不等式は、直線 $\mathrm{OA}_n$ の傾きがどんどん小さくなることを示せばいいです。右側の不等式は難しいですが、 $C$ が含まれているので、面積に関する条件から考えましょう。

$n$ と $m$ は離れているのでどういう関係かはよくわかりませんが、 $n$ と $n+1$ の場合なら調べやすいです。この場合をまず調べてから、 $n$ と $m$ の関係について考えましょう。

(3)は、まだあまり使っていない条件(iii)をどう利用するかを考えます。

(4)は、 $a_n$ が大きくなってくると、いろんな制約から、とれる値が限定されます。このことを利用して証明します。

見慣れない条件が多く考えづらいです。(2)は難しく、(4)もまた視点を変えて考えないといけないので大変です。

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