京都大学 理学部特色入試 2021年度 第2問 解説

問題編

問題

 自然数 $n,m$ に対して横 $n$ 個、縦 $m$ 個からなる $n\times m$ 個のマスを考え、それぞれのマスに1つずつ白玉または黒玉を入れる。その白玉と黒玉の入れ方のうち、黒玉が上下左右いずれにも隣り合わないような入れ方の総数を $a_{n,m}$ とする。例えば $n=5,m=3$ のとき、図1の入れ方は黒玉が上下左右いずれにも隣り合わないような入れ方であり、図2の入れ方は黒玉が左右に隣り合っている入れ方である。

下の設問に答えよ。

(1) $a_{n,2}$ を求めよ。

(2) ある正の実数 $D$ が存在して、すべての自然数 $n$ について\[ \frac{1}{2} \leqq \frac{\log_2 a_{n,n}}{n^2} \leqq \frac{1}{2}\log_2(1+\sqrt{2})+\frac{D}{n} \]となることを示せ。

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考え方

(1)はよくある数列の問題です。普通の大学入試であれば、これだけでも十分難しいですが、特色入試の場合では、これは解けないとダメでしょう。

(2)は、 $a_{n,n}$ の具体的な値は求めなくてもいいことに注意しましょう。条件より厳しい入れ方や緩い入れ方を考えて、数えやすいもので評価していきます。

左側は、より厳しい入れ方、限定的な入れ方を考えます。式変形で攻めるのではなく、わかりやすい入れ方を考えるようにします。

右側の式にある $1+\sqrt{2}$ がどこから湧いて出てくるのか、パッと見た感じでは謎ですが、(1)を解けば意味は分かるでしょう。これで、(2)では(1)を使いそうだというのはわかりますが、使い方は少し考えないといけません。

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