問題編
問題
以下の条件(i), (ii), (iii) を満たす実数の列 $x_1,x_2,\cdots,x_{1000}$ は存在するか。
(i) $x_1=\dfrac{1}{2}$
(ii) $k=2,3,\cdots, 1000$ に対し、 $x_k$ は\[ \frac{x_{k-1}+99}{100},\ -\frac{100x_{k-1}}{99x_{k-1}-1} \]のいずれかに等しい。ただし、 $x_{k-1}=\dfrac{1}{99}$ のときは $x_k=\dfrac{x_{k-1}+99}{100}$ とする。
(iii) $\dfrac{49}{100}\lt x_{1000}\lt\dfrac{51}{100}$
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著者：上園信武
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(2020年09月 時点の情報です)
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考え方
なんだかよくわからない式で、 $99$ もどこから出てくるのかわからず、考えにくいです。
とりあえず、 $x_2$ を考えてみると、 $1$ か $-1$ にすごく近いことがわかります。それ以降にどのような値をとりうるか考えてみましょう。
特に2つ目の式がやっかいで、これを無理やりいろいろ変形しようとすると、泥沼にはまってしまいます。
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特に、私立大に出題が多い小問集合が確実にクリアできる力がつきます。