京都大学 理学部特色入試 2020年度 第3問 解説

(2019年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 整数 $k,n$ は $0\leqq k\lt n$ を満たすとする。以下の設問に答えよ。

(1) $f(x)=x^n$, $g(x)=x^k$ とする。 $1\leqq x\lt y$ に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。\[ \left| \frac{g(x)-g(y)}{f(x)-f(y)} \right| \lt\dfrac{1}{x} \]

(2) $f(x)$, $g(x)$ を実数係数の整式で、 $f(x)$ の次数を $n$ とし、 $g(x)$ の次数を $k$ 以下とする。 $f(x_0)$ が整数となるすべての実数 $x_0$ に対して $g(x_0)$ も整数となるとき、 $g(x)$ は $x$ によらず一定の整数値をとることを示せ。

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考え方

(1)は具体的な関数が与えられているので、頑張って変形します。

(2)は、(1)を使いますが、少し使い方が難しいです。(1)では、 $x$ が大きいときには、 $x^k$ の差は $x^n$ の差に比べてずっと小さくなる、ということを表しています。このことから、 $g(x)$ の変化について何か言えないか考えてみましょう。