京都大学 理学部特色入試 2020年度 第2問 解説

(2019年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 次の3つのルール(i), (ii), (iii) にしたがって三角形 ABC の頂点上でコマを動かすことを考える。

 (i) 時刻 $0$ においてコマは頂点 A に位置している。

 (ii) 時刻 $0$ にサイコロを振り、出た目が偶数なら時刻 $1$ で頂点 B に、出た目が奇数なら時刻 $1$ で頂点 C にコマを移動させる。

 (iii) $n=1,2,3,\cdots$ に対して、時刻 $n$ にサイコロを振り、出た目が $3$ の倍数でなければ時刻 $n+1$ でコマを時刻 $n-1$ に位置していた頂点に移動させ、出た目が $3$ の倍数であれば時刻 $n+1$ でコマを時刻 $n-1$ にも時刻 $n$ にも位置していなかった頂点に移動させる。

時刻 $n$ においてコマが頂点 A に位置する確率を $p_n$ とする。以下の設問に答えよ。

 (1) $p_2$, $p_3$ を求めよ。

 (2) $n=1,2,3,\cdots$ に対して $p_{n+1}$ を $p_{n-1}$ と $p_n$ を用いて表せ。

 (3) 極限値 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n$ を求めよ。

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考え方

3の倍数のときの扱いがやっかいですが、動くパターンは少ないので、遷移を実際にいくつかかいて見ると思いつきやすいかもしれません。(2)では、 $p_n$ をどう使うのかをよく考えましょう。

(3)は答えは予想しやすいので、予想をめがけて変形していきます。