京都大学 理学部特色入試 2020年度 第1問 解説

(2019年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 $0\leqq x\lt 1$ の範囲で定義された連続関数 $f(x)$ は $f(0)=0$ であり、 $0\lt x\lt 1$ において何回でも微分可能で次を満たすとする。\[ f(x)\gt 0, \quad \sin\left( \sqrt{f(x)} \right) = x \]この関数 $f(x)$ に対して、 $0\lt x\lt 1$ で連続な関数 $f_n(x)$, $n=1,2,3,\cdots$ を以下のように定義する。\[ f_n(x)=\dfrac{d^n}{dx^n}f(x) \]以下の設問に答えよ。

(1) 関数 $-xf'(x)+(1-x^2)f^{\prime\prime}(x)$ は $0\lt x \lt 1$ において $x$ によらない定数値をとることを示せ。

(2) $n=1,2,3,\cdots$ に対して、極限 $\displaystyle a_n=\lim_{x\to+0} f_n(x)$ を求めよ。

(3) 極限 $\displaystyle \lim_{N\to\infty} \left( \sum_{n=1}^N \dfrac{a_n}{n!2^{\frac{n}{2}}} \right)$ は存在することが知られている。この事実を認めた上で、その極限値を小数第1位まで確定せよ。

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考え方

扱いにくい関数で、うまく変形していかないと計算が大変なことになってしまいます。(2)は(1)の式を使って計算しますが、ここでも漸化式をうまく導くようにしましょう。

(3)は、具体的に計算してみるとわかりますが、はじめのいくつかの項はある程度の大きさの値になりますが、ある先からは極端に小さくなります。ある場所から先は足しても無視できるくらいの大きさであることを示しましょう。各項をうまく変形しようとしてもあまりきれいな結果にはならず、泥臭い評価をすることになります。