京都大学 理学部特色入試 2019年度 第4問 解説

(2018年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 $n$ を自然数とする。整数 $k$ に関する次の条件 (C), (D) を考える。
(C) $0\leqq k\lt n$
(D) $\dfrac{k}{n} \leqq \dfrac{1}{m} \lt \dfrac{k+1}{n}$ を満たす自然数 $m$ が存在する。

条件(C), (D) を満たす整数 $k$ の個数を $T_n$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) $T_{50}$ を求めよ。

(2) 次の極限値を求めよ。\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\log T_n}{\log n} \]

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考え方

実際に書き出してみると、ぎっしり詰まっているところと、スカスカの部分とに分かれます。両者を別々に数えて、 $T_n$ を考えましょう。最終的に極限を考えるので、厳密な値がわからなくても、問題ありません。