京都大学 理学部特色入試 2019年度 第3問 解説

(2018年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 $c$ を正の実数とする。このとき、実数 $q$ に対して、次の条件により数列 $x_1,x_2,x_3,\cdots$ を定めることを考える。
\begin{eqnarray}
& \mathrm{ (A) } & x_1=q \\[5pt] & \mathrm{ (B) } & x_{n+1}=\frac{1}{2c-x_n}\ (n=1,2,3,\cdots)
\end{eqnarray}ここで、ある自然数 $k$ に対して $x_k=2c$ となる場合、 $x_{k+1}$ の値を漸化式(B) によって定義することはできないので、このときは上記の数列を第 $k$ 番目の項 $x_k$ で停止させ、これをこの数列の末項とする。このように、条件 (A), (B) により定まる数列に置いて、ある自然数 $k$ について $x_k=2c$ となるとき、 $q$ を漸化式 (B) の不都合な初項と呼ぶことにする。例えば $q=2c$ のとき、 $x_1=2c$ となるので、 $2c$ は漸化式 (B) の不都合な初項である。以下の設問に答えよ。

(1) $c\gt 1$ ならば、漸化式 (B) の不都合な初項は無限に多く存在することを示せ。

(2) $c\gt 1$ とする。実数 $q$ が漸化式 (B) の不都合な初項であるとき、次の不等式を示せ。\[ c+\sqrt{c^2-1}\lt q\leqq 2c \]

(3) 次の命題 (P) が成り立つような実数 $c$ が $0\lt c\lt 1$ の範囲に存在することを示せ。

 (P) 任意に自然数 $M$ を与えるとき、漸化式 (B) の不都合な初項 $q$ であって、不等式\[ |q|\gt M \]を満たすものが存在する。

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考え方

初項から考えるのではなく、 $x_k=2c$ から考えていった方がわかりやすいと思います。

(1)は、不都合な初項が、次々と作り出せることを示します。無限に存在することを言うため、それぞれの値が異なることも示しましょう。

(3)は、きれいな $c$ の値を考えてしまうとうまくいきません。 $0\lt c\lt 1$ のときは、(2)の左辺が虚数になることから、複素数を使った式変形をしていきます。なお、 $M$ を決めてから $c$ を決めることができない点に注意しましょう。 $c$ は $M$ を含まない式で書ける必要があります。