京都大学 理学部特色入試 2019年度 第1問 解説

(2018年11月に行われた特色入試の問題です。)

問題編

問題

 $a$ を $2$ 以上の整数とし、有理数 $b$ を $b=1+\dfrac{1}{a}$ により定める。自然数 $n$ に対して、\[ S_n=\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{a}} \]とおく。ただし、 $k^{\frac{1}{a}}$ とは $a$ 乗すると $k$ になる正の実数のことである。以下の設問に答えよ。

(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n^b}=\frac{1}{b}$ を示せ。

(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(S_n-\frac{n^b}{b} \right)=\infty$ を示せ。

【広告】

考え方

(1)はよくある問題です。こういう変わった和を計算する問題で、分母に $n$ があれば、ピンとくるものがあるでしょう。

(2)は、(1)の収束スピードに関する問題です。少し見方を変えなければいけませんが、各項の評価に持ち込んで考えましょう。