🏠 Home / 京都大学 / 京大理系

京都大学 理系 2023年度 第6問 解説

問題編

問題

 $p$ を $3$ 以上の素数とする。また、 $\theta$ を実数とする。

(1) $\cos 3\theta$ と $\cos 4\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ。

(2) $\cos \theta=\dfrac{1}{p}$ のとき、 $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となるような正の整数 $m,n$ が存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

考え方

3倍角、4倍角の式だけを見ても、普通は(2)を考えるのは難しいでしょう。どこかで $\cos n\theta$ を $\theta$ の多項式で表す、という問題を見たことがないと、なかなか初見で解くのは難しいと思います。

もし見たことがあっても、多項式で表せるというだけでは足りません。$3$ 以上の素数 $p$ を使った議論をするには、もう一つ道具が必要になります。

解答編

問題

 $p$ を $3$ 以上の素数とする。また、 $\theta$ を実数とする。

(1) $\cos 3\theta$ と $\cos 4\theta$ を $\cos\theta$ の式として表せ。

解答

$\cos\theta=c$ とおく。加法定理、倍角の公式より
\begin{eqnarray} \cos 3\theta &=& \cos 2\theta\cos \theta-\sin 2\theta\sin \theta \\[5pt] &=& (2c^2-1)c-2\sin \theta\cos\theta\sin \theta \\[5pt] &=& 2c^3-c-2c(1-c^2) \\[5pt] &=& 2c^3-c-2c+2c^3 \\[5pt] &=& 4c^3-3c \\[5pt] &=& 4\cos^3\theta-3\cos\theta \\[5pt] \end{eqnarray}となる。また、倍角の公式より \begin{eqnarray} \cos4\theta &=& 2(\cos 2\theta)^2-1 \\[5pt] &=& 2(2c^2-1)^2-1 \\[5pt] &=& 2(4c^4-4c^2+1)-1 \\[5pt] &=& 8c^4-8c^2+1 \\[5pt] &=& 8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。以上から \begin{eqnarray} \cos3\theta &=& 4\cos^3\theta-3\cos\theta \\[5pt] \cos4\theta &=& 8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1 \\[5pt] \end{eqnarray}となる。(答)

解答編 つづき

問題

(2) $\cos \theta=\dfrac{1}{p}$ のとき、 $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot\pi$ となるような正の整数 $m,n$ が存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

解答

まず、次の条件(a)(b)を満たす整数係数の多項式 $f_n(x)$ が存在することを示す。

(a) $\cos n\theta=f_n(\cos \theta)$
(b) $f_n(x)$ は $n$ 次式で、最高次数の係数が $2^{n-1}$

(1)より、\[ f_3(x)=4x^3-3x,\ f_4(x)=8x^4-8x^2+1 \]とすればよいので、 $n=3,4$ のときは存在することがわかる。

また、 $k$ が $3$ 以上の整数のとき、上の条件(a)(b)を満たす $f_{k}(x),f_{k+1}(x)$ が存在するとする。このとき、和積の公式から
\begin{eqnarray} \cos (k+2)\theta+\cos k\theta &=& 2\cos (k+1)\theta\cos \theta \\[5pt] \cos (k+2)\theta &=& 2f_{k+1}(\theta)\cos \theta-f_{k}(\theta) \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、\[ f_{k+2}(x)=2xf_{k+1}(x)-f_{k}(x) \]とおけば、 $n=k+2$ のときも条件(a)(b)を満たす多項式が存在することがわかる。

よって、 $3$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して、条件(a)(b)を満たす $f_n(x)$ が存在することがわかる。

ここで、もし、 $\cos\theta=\dfrac{1}{p}$ のときに、 $\theta=\dfrac{m}{n}\cdot \pi$ を満たす正の整数 $m,n$ があったとする。このとき、明らかに $n\ne 1,2$ であることがわかる。

$\cos n\theta=\cos m\pi$ なので、この値は $1$ か $-1$ であり、いずれにしても整数である。また、 $f_n(x)$ を $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ とおくと、 $a_n=2^{n-1}$ であり、$f_n\left(\dfrac{1}{p}\right) = \cos m\pi$ が成り立つ。これより、この両辺に $p^n$ を掛けると
\begin{eqnarray} & & 2^{n-1} +pa_{n-1}+p^2a_{n-2}+\cdots +p^{n-1}a_1+p^na_0 = p^n \cos m\pi \\[5pt] & & 2^{n-1}=-pa_{n-1}-p^2a_{n-2}-\cdots -p^{n-1}a_1-p^na_0 +p^n \cos m\pi \end{eqnarray} が成り立つが、最後の式の右辺は $p$ の倍数で左辺は $p$ の倍数ではない($p$ は $3$ 以上の素数だから)ので、これは矛盾する。

以上から、$\theta=\dfrac{m}{n}\cdot \pi$ を満たす正の整数 $m,n$ は存在しない。(終)

関連するページ

YouTubeもやってます

チャンネル登録はコチラから (以下は、動画のサンプルです)
【むずかしい】防衛医科大学校2024年度数学第5問 藤田医科大学2024年度後期数学第1問8 岡山大学2024年度数学文理共通第1問 埼玉大学文系2024年度数学第3問 順天堂大学医学部2024年度数学第3問 東北大学2024年度後期数学文理共通第4問