京都大学 理系 2023年度 第1問 解説

問題編

問題

　次の各問に答えよ。

問１　定積分 $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x}\log(x^2)dx$ の値を求めよ。

問２　整式 $x^{2023}-1$ を整式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りを求めよ。

考え方

問１は、 $\log$ を使った典型的な計算問題です。

問２は、いくつか攻め方がありますが、素直に割ることができないか、考えてみるといいでしょう。

解答編

問題

　次の各問に答えよ。

問１　定積分 $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x}\log(x^2)dx$ の値を求めよ。

解答

$y=\sqrt{x}$ とすると、$dy=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx=\dfrac{1}{2y}dx$ なので
\begin{eqnarray} & & \int_1^4 \sqrt{x}\log(x^2)dx \\[5pt] &=& \int_1^2 y\log(y^4) \cdot 2y dy \\[5pt] &=& 8 \int_1^2 y^2 \log y dy \\[5pt] &=& 8\left[\frac{y^3}{3}\log y\right]_1^2 -8\int_1^2 \frac{y^3}{3} \cdot\frac{1}{y} dy \\[5pt] &=& \frac{64}{3}\log 2 -\frac{8}{3}\int_1^2 y^2 dy \\[5pt] &=& \frac{64}{3}\log 2 -\frac{8}{3}\left[\frac{y^3}{3}\right]_1^2 \\[5pt] &=& \frac{64}{3}\log 2 -\frac{56}{9} \end{eqnarray}となる。（答）

解答編　つづき

問題

問２　整式 $x^{2023}-1$ を整式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りを求めよ。

解答

\begin{eqnarray} & & x^{2023}-1 \\[5pt] &=& (x-1)(x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x^2+x+1) \\[5pt] \end{eqnarray}となる。ここで、 \begin{eqnarray} & & x^{2022}+x^{2021}+\cdots+x^2+x+1 \\[5pt] &=& (x^4+x^3+x^2+x+1) \\ & & \times (x^{2018}+x^{2013}+x^{2008}+\cdots+x^8+x^3)\\ & & \ +x^2+x+1 \\[5pt] \end{eqnarray}となることから、$x^{2023}-1$ を $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りは、 $(x-1)(x^2+x+1)$ を割ったときの余りと等しい。よって、求める余りは $x^3-1$ …（答）