京都大学 理系 2016年度 第6問 解説

問題編

【問題】
複素数を係数とする2次式$f(x)=x^2+ax+b$に対し、次の条件を考える。

(イ) $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる。
(ロ) $f(x)$の係数a,bは少なくとも一方は虚数である。

この2つの条件(イ)、(ロ)を同時に満たす2次式をすべて求めよ。

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【考え方】
一般に、$F(x)$が$G(x)$で割り切れるとき、$F(x)=G(x)P(x)$と書けます。また、$G(a)=0$となるaを代入すると、$F(a)=0$となります。

ここでは、このことを利用して、$f(x)=0$の解の3乗が、再びこの方程式の解になることを利用して、解を特定していきます。解を特定すれば2次式に戻すことは簡単です。しかし、解の特定はごちゃごちゃしやすく、計算間違いやすいので要注意です。

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