京都大学 理系 2016年度 第2問 解説

問題編

【問題】
素数p,qを用いて\[p^q+q^p\]と表される素数をすべて求めよ。

【広告】
青チャートが大学入学共通テストを見据え「増補改訂版」として発売

改訂版の巻末に実践編〔大学入学共通テストの準備・対策のためのコーナー〕として新傾向の問題を追加
実践編には関連する例題やコラムなどの参照先を示し、それらを振り返ることで理解が深まる仕組み
著者:チャート研究所
出版社:数研出版
発売日:2019-01-24
ページ数: ページ
値段:¥2,101
(2021年09月 時点の情報です)

【考え方】
一見、条件が少なすぎる気がしますが、よく見ると大幅に候補をしぼることができます。pqが、両方奇数、または両方偶数の場合、$p^q+q^p$は偶数になります。これが素数になるには、2しかありませんがそんなことはありえません。このことから、片方が偶数、片方が奇数であることがわかります。つまり、「2と奇数」です。ここまではすぐにわかります。

つぎにさらに絞るためにいくつか計算してみます。$p=2$とすると、$2^3+3^2=17$、$2^5+5^2=57$、$2^7+7^2=177$、$2^{11}+11^2=2169$となります。一つ目は素数で、それよりあとは3の倍数。これらをもとに、qが3じゃないときは$2^q+q^2$が3で割れるんじゃないかと予想して式変形していくと、これが正しいことがわかります。

1 2