京都大学 理系 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
四面体$\mathrm{ OABC }$が次の条件をみたすならば、それは正四面体であることを示せ。
 条件:頂点A、B、Cからそれぞれの対面を含む平面へ下した垂線は対面の外心を通る。

ただし、四面体にある頂点の対面とは、その頂点を除くほかの3つの頂点がなす三角形のことをいう。

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著者: 河合塾数学科
出版社: 河合出版
発売日: 2018/06/01
125ページ

【考え方】
ベクトルなどを使って計算し始めたくなりますが、そうすると罠にはまってしまいます。条件を読むと、垂線があり、外接円の半径があるので、実はもうほとんど辺の長さがわかるところまで来ています。図形的に解くのが一番簡単です。

なお、文系第4問に、これと1文字だけ違う問題が出題されています。