京都大学 理系 2016年度 第5問 解説

問題編

【問題】
xy平面上の6個の点$(0,0)$、$(0,1)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(2,0)$、$(2,1)$が図のように長さ1の線分で結ばれている。動点Xは、これらの点の上を次の規則に従って1秒ごとに移動する。

 規則:動点Xは、そのときに位置する点から出る長さ1の線分によって結ばれる図の点のいずれかに、等しい確率で移動する。

例えば、Xが$(2,0)$にいるときは、$(1,0)$、$(2,1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する。またXが$(1,1)$にいるときは、$(0,1)$、$(1,0)$、$(2,1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する。

時刻0で動点Xが$\mathrm{ O }=(0,0)$から出発するとき、n秒後にXのx座標が0である確率を求めよ。ただしnは0以上の整数とする。

kyoto-u-r-2016-5-01

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【考え方】
(0,0)にいるとき、次の移動でx座標が0,1になる確率がそれぞれ$\frac{1}{2}$で、(0,1)にいるときも次の移動でx座標が0,1になる確率はそれぞれ$\frac{1}{2}$になります。つまり、x座標だけに着目すれば、2つの点をまとめて考えることができます。求める確率も、(0,0)にいる確率ではなく、x座標が0である確率なので、まとめたまま考えることができます。

つまり、x座標が0,1,2である確率をそれぞれ求めればOKです。3つの確率を足すと1になるので、x座標が0,2である確率を考えるだけでよく、うまく2つの漸化式を作れば、答えにたどり着けます。

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