京都大学 理系 2016年度 第6問 解説

問題編

【問題】
複素数を係数とする2次式$f(x)=x^2+ax+b$に対し、次の条件を考える。

（イ） $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる。
（ロ） $f(x)$の係数a,bは少なくとも一方は虚数である。

この2つの条件（イ）、（ロ）を同時に満たす2次式をすべて求めよ。

【考え方】
一般に、$F(x)$が$G(x)$で割り切れるとき、$F(x)=G(x)P(x)$と書けます。また、$G(a)=0$となるaを代入すると、$F(a)=0$となります。

ここでは、このことを利用して、$f(x)=0$の解の3乗が、再びこの方程式の解になることを利用して、解を特定していきます。解を特定すれば2次式に戻すことは簡単です。しかし、解の特定はごちゃごちゃしやすく、計算間違いやすいので要注意です。

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解答編

【問題】
複素数を係数とする2次式$f(x)=x^2+ax+b$に対し、次の条件を考える。

（イ） $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる。
（ロ） $f(x)$の係数a,bは少なくとも一方は虚数である。

この2つの条件（イ）、（ロ）を同時に満たす2次式をすべて求めよ。

【解答】
$f(x)=0$の解を$\alpha ,\beta$とする。この2つの解が両方とも実数なら条件（ロ）を満たさなくなるので、$\alpha$は虚数としてよい。

$f(\alpha)=0$と条件（イ）より、\[f(\alpha^3)=(\alpha^3-\alpha)(\alpha^3-\beta)=0\]である。$\alpha^3-\alpha=0$なら$\alpha=0,\pm 1$となるが、これは$\alpha$が虚数であることに矛盾する。よって、\[ \beta = \alpha^3 \]がなりたつ。

また、$f(\beta)=0$と条件（イ）より、\[f(\beta^3)=(\beta^3-\alpha)(\beta^3-\beta)=0\]である。よって、$\beta^3$は$\alpha$か$\beta$に等しくなる。

(1) $\beta^3 = \alpha$のとき
$\beta = \alpha^3$から、$\alpha^9=\alpha$となる。$\alpha$は虚数なので、\[ \alpha = \frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2} }{2}i, \pm i, -\frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2} }{2}i \]となる。

ここで、$\alpha=-\frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2} }{2}i$のとき、$\beta = \alpha^3$は、$\frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2} }{2}i$となる。

よって、入れ替えて同じになるものを除くと、\[ (\alpha,\beta)=\left( \frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2} }{2}i, -\frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2} }{2}i \right), (\pm i, \mp i) \]となる（それぞれ複合同順）。ここで、条件（ロ）も満たす2次式は、\[x^2 \pm \sqrt{2}ix-1\]のみとなる。

(2) $\beta^3 = \beta$のとき
$\beta = 0, \pm 1 $である。$\beta = \alpha^3$から、$\alpha$の値を考える。

$\beta = 0$のとき、$\alpha$が虚数となることはない。

$\beta=1$のとき、$\alpha$は虚数なので、$\alpha = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3} }{2}i$となる。

$\beta=-1$のとき、$\alpha$は虚数なので、$\alpha = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3} }{2}i$となる。

このことと条件（ロ）より、求める2次式は、
\begin{eqnarray} x^2+\left( -\frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3} }{2}i \right)x -\frac{1}{2} \pm\frac{\sqrt{3} }{2}i\\ x^2+\left( \frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{3} }{2}i \right)x -\frac{1}{2} \mp\frac{\sqrt{3} }{2}i \end{eqnarray}となる（それぞれ複合同順）。

(1)(2)から、求める2次式は、次の通り。
\begin{eqnarray} & & x^2+\left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2}i \right)x -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2}i \\ & & x^2+\left( -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2}i \right)x -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2}i \\ & & x^2+\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2}i \right)x -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2}i \\ & & x^2+\left( \frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2}i \right)x -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2}i \\ & & x^2 + \sqrt{2}ix-1 \\ & & x^2 - \sqrt{2}ix-1 \end{eqnarray}

【解答終】

【解説】
場合分けして考えるだけの問題ですが、ごちゃごちゃしやすく計算間違いしやすいです。

$f(x^3)$を直接$f(x)$で割って余りが0になるときを求める方法も考えられますが、余りを出すだけでも大変なのでオススメはしません。