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京都大学 理系 2006年度 第6問 解説

問題編

【問題】
 $\displaystyle 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$として、関数Fを\[ F(\theta) = \int_0^{\theta}x\cos(x+\alpha)dx \]で定める。$\theta$が$\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。

【考え方】
最大値を求めるので、微分して増減表を書く、という流れで解いていきます。いつ最大をとるかがわかれば、最大値を求めるのも簡単です。部分積分を1回するだけで計算できます。微分積分の問題にしては簡単な問題です。


解答編

【問題】
 $\displaystyle 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}$として、関数Fを\[ F(\theta) = \int_0^{\theta}x\cos(x+\alpha)dx \]で定める。$\theta$が$\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。

【解答】
$F'(\theta)=\theta\cos(\theta+\alpha)$なので、$F'(\theta)=0$のとき$\displaystyle \theta=0, \frac{\pi}{2}-\alpha$となる。これを$\theta_1$とすると、増減表は次のようになる。
\begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \theta_1 & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline F'(\theta) & & + & 0 & - & \\ \hline F(\theta) & & \nearrow & & \searrow & \end{array}

よって、最大値は、
\begin{eqnarray} F(\theta_1) &=& \int_0^{\theta_1}x\cos(x+\alpha)dx \\[5pt] &=& \left[ x\sin(x+\alpha) \right]_0^{\theta_1} -\int_0^{\theta_1}\sin(x+\alpha)dx \\[5pt] &=& \theta_1\sin(\theta_1+\alpha) -\left[ -\cos(x+\alpha) \right]_0^{\theta_1} \\[5pt] &=& \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right)\sin\left( \frac{\pi}{2}-\alpha+\alpha \right) +\cos\left( \frac{\pi}{2}-\alpha+\alpha \right) -\cos\alpha \\[5pt] &=& \frac{\pi}{2}-\alpha -\cos\alpha \\[5pt] \end{eqnarray}となる。

【解答終】

【解説】
$F(x)=\int_0^xf(t)dt$のときに$F'(x)=f(x)$になることと、部分積分がわかっていれば、難しいところはありません。

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