京都大学 理系 2006年度 第4問 解説

問題編

【問題】
 2以上の自然数nに対し、$n$と$n^2+2$がともに素数になるのは$n=3$の場合に限ることを示せ。

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著者: 桑原 信淑
出版社: ピアソン桐原
発売日: 2009/02/01
230ページ

【考え方】
これはよく読むと、「nが3より大きい素数のとき、$n^2+2$は素数にならない」ということを示せばいいということがわかります。

$n^2+2$を計算してみると、$n$が5のときは27、7のときは51、11のときは123、13のときは171となり、確かに素数にはなりません。よく見ると3の倍数になっています。「3より大きい素数」は3で割り切れませんが、3で割り切れない整数を2乗すると、3で割った余りが1になるので、このことを使って解答を書いていきます。