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京都大学 理系 2006年度 第2問 解説

問題編

【問題】
 点Oを原点とする座標空間の3点を$\mathrm{ A }(0,1,2)$、$\mathrm{ B }(2,3,0)$、$\mathrm{ P }(5+t,9+2t,5+3t)$とする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

【考え方】
「線分OPと線分ABが交点を持つ」ということを、「ある点が線分OPの上にもあり、線分AB上にもある」と言い換えて考えていきます。交点の座標を2通りで出し、座標を比較すれば計算できます。

tの存在を示せ」となっていますが、具体的にtの値が求まります。


解答編

【問題】
 点Oを原点とする座標空間の3点を$\mathrm{ A }(0,1,2)$、$\mathrm{ B }(2,3,0)$、$\mathrm{ P }(5+t,9+2t,5+3t)$とする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

【解答】
Qを線分OP上の点とすると、$\mathrm{ OQ }:\mathrm{ QP }=s:1-s$となる$0\leqq s\leqq 1$が存在する。このとき、Qの座標は
\begin{eqnarray} s(5+t,9+2t,5+3t) = ( s(5+t), s(9+2t), s(5+3t) ) \end{eqnarray}と書ける。

また、点Rを線分AB上の点とすると、$\mathrm{ AR }:\mathrm{ RB }=r:1-r$となる$0\leqq r\leqq 1$が存在する。このとき、Rの座標は
\begin{eqnarray} (1-r)(0,1,2) + r(2,3,0) &=& ( 2r, 1+2r, 2-2r ) \end{eqnarray}となる。

この2つが一致するとすると、次が成り立つ。
\begin{eqnarray} s(5+t) &=& 2r &\cdots (1) \\ s(9+2t) &=& 1+2r &\cdots (2) \\ s(5+3t) &=& 2-2r &\cdots (3) \\ \end{eqnarray} (1)を(2)に代入すると
\begin{eqnarray} 9s+2st &=& 1+5s+st \\ st+4s &=& 1 \cdots (4) \end{eqnarray} (1)を(3)に代入すると
\begin{eqnarray} 5s+3st &=& 2-5s-st \\ 4st+10s &=& 2 \cdots (5) \end{eqnarray} (4)×4-(5)より、
\begin{eqnarray} 6s &=& 2 \\ s &=& \frac{1}{3} \end{eqnarray} これを(4)に代入すると、
\begin{eqnarray} \frac{1}{3}(t+4) &=& 1 \\ t+4 &=& 3 \\ t &=& -1 \\ \end{eqnarray} これらを(1)に代入すると、
\begin{eqnarray} \frac{1}{3}(5-1) &=& 2r \\ r &=& \frac{2}{3} \\ \end{eqnarray}これらは、$0\leqq s,r\leqq 1$を満たす。

よって、$t=-1$のとき、線分OPと線分ABは交点を持つ。

そのときの交点は$( 2r, 1+2r, 2-2r )$なので、$\displaystyle \left( \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{2}{3} \right)$となる。

【解答終】

【解説】
座標を2通りに表して比較する、という基本的な解き方で解けます。ひっかかるところも少なく、計算も難しいわけではありません。やさしめの問題です。

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