京都大学 理系 2006年度 第1問 解説

問題編

【問題】
　$Q(x)$を2次式とする。整式$P(x)$は$Q(x)$では割り切れないが、$\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるという。このとき2次方程式$Q(x)=0$は重解を持つことを示せ。

【考え方】
$Q(x)$は2次式なので、$P(x)$を割った余りは1次式か定数になります。これを用いて、$\{P(x)\}^2$を$Q(x)$で割り切れる、という条件を変形していけば、解くことができます。

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解答編

【問題】
　$Q(x)$を2次式とする。整式$P(x)$は$Q(x)$では割り切れないが、$\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるという。このとき2次方程式$Q(x)=0$は重解を持つことを示せ。

【解答】
$P(x)$を$Q(x)$で割ったときの商を$R(x)$とする。$Q(x)$は2次式なので、$P(x)$を$Q(x)$で割った余りは$px+q$と書ける。なお、割り切れないので$px+q\ne 0$である。

\begin{eqnarray} \{P(x)\}^2 &=& \{ R(x)Q(x) +px+q \}^2 \\ &=& \{ R(x)Q(x) \}^2 +2(px+q)R(x)Q(x) +(px+q)^2 \end{eqnarray}であり、これが2次式$Q(x)$で割り切れるので、ある実数kを使って\[ (px+q)^2 =kQ(x) \]とかける。$px+q\ne 0$なので、$k\ne 0$である。よって、$p\ne 0$もわかる。

このことから、$Q(x)=0$は、重解$\displaystyle x=-\frac{q}{p}$を持つ。

【解答終】

【解説】
数式を数式で割る場合、商と余りを使って書く方法はよく使うので、使いこなせるようにしておきましょう。

上の問題は、因数定理を用いて解くこともできます。$Q(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$と書いたとき、$\{P(x)\}^2$が$Q(x)$で割り切れることから、$\{P(\alpha)\}^2=\{P(\beta)\}^2=0$なので、$P(\alpha)=P(\beta)=0$となります。よって、$P(x)$は$x-\alpha$でも$x-\beta$でも割り切れる必要があります。

もし$\alpha \ne \beta$なら、$P(x)$は$Q(x)$では割り切れないことに矛盾するので、$\alpha = \beta$が成り立ちます。$Q(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$なので、これは$Q(x)=0$が重解を持つことを表しています。