京都大学 文系 2019年度 第3問 解説

問題編

問題

　a, b, c は実数とする。次の命題が成立するための、 a と c がみたすべき必要十分条件を求めよ。さらに、この $(a,c)$ の範囲を図示せよ。

　命題：すべての実数 b に対して、ある実数 x が不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ をみたす。

考え方

「すべて」と「ある」の順番が混乱してきそうですが、落ち着いて考えましょう。

いきなり必要十分条件を考えるのが難しい場合は、必要条件だけを考えてみましょう。もし命題を満たすとすると、 $b$ が特別な値のときにも満たしていないといけません。そのことから条件を導き出し、その条件を満たせば与えられた命題を満たすことを示しましょう。