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京都大学 文系 2019年度 第3問 解説

問題編

問題

 a, b, c は実数とする。次の命題が成立するための、 ac がみたすべき必要十分条件を求めよ。さらに、この $(a,c)$ の範囲を図示せよ。

 命題:すべての実数 b に対して、ある実数 x が不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ をみたす。

考え方

「すべて」と「ある」の順番が混乱してきそうですが、落ち着いて考えましょう。

いきなり必要十分条件を考えるのが難しい場合は、必要条件だけを考えてみましょう。もし命題を満たすとすると、 $b$ が特別な値のときにも満たしていないといけません。そのことから条件を導き出し、その条件を満たせば与えられた命題を満たすことを示しましょう。


解答編

問題

 a, b, c は実数とする。次の命題が成立するための、 ac がみたすべき必要十分条件を求めよ。さらに、この $(a,c)$ の範囲を図示せよ。

 命題:すべての実数 b に対して、ある実数 x が不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ をみたす。

解答

不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ を、(*) とおく。

(i) $a\lt 0$ のとき

\[ \lim_{x\to \infty} (ax^2+bx+c)=-\infty \]なので、 $x$ を十分大きくすれば、 $b$ の値によらず、(*)の左辺が負になるようにできる。よって、このときは、命題が成立するための必要十分条件は、「 $a\lt 0$ 、 $c$ は任意の実数」となる。

(ii) $a=0$ のとき

$b=0$ のときは、(*) の左辺は $c$ である。よって、このときに (*) をみたすには、 $c\lt 0$ が必要である。

逆に、 $c\lt 0$ とする。(*) の左辺は、 $bx+c$ であり、 $x=0$ とすれば、(*) をみたすことがわかる。よって、このときは、命題が成立するための必要十分条件は、「 $a=0$ 、 $c\lt 0$ 」となる。

(iii) $a\gt 0$ のとき

$b=0$ のときは、(*) の左辺は $ax^2+c$ であり、これは $c$ 以上である。よって、このときに (*) をみたすには、 $c\lt 0$ が必要である。

逆に、 $c\lt 0$ とする。(*) の左辺は、 $ax^2+bx+c$ であり、 $x=0$ とすれば、(*) をみたすことがわかる。よって、このときは、命題が成立するための必要十分条件は、「 $a\gt 0$ かつ $c\lt 0$ 」となる。

以上から、与えられた命題が成り立つための必要十分条件は、
 $a\lt 0$ または 「 $a\geqq 0$ かつ $c\lt 0$ 」
である。これを図示すると以下の色のついた部分である。ただし、境界線は含まない。

(終)

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