京都大学 文系 2019年度 第2問 解説

問題編

問題

 a は実数とし、b は正の定数とする。 x の関数 $f(x)=x^2+2(ax+b|x|)$ の最小値 m を求めよ。さらに、a の値が変化するとき、 a の値を横軸に、 m の値を縦軸にとって m のグラフをかけ。

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考え方

文字が多くて紛らわしいですが、 $b$ だけは変わらないことに注意しましょう。

絶対値が入っているので、場合分けをして絶対値を外して考えます。そうすると、二次関数の最小値を考えることになります。ただ、 $a$ がどのような値か、 $b$ とどのような関係かによって、頂点の位置が変わってきます。その時々で考えている区間の中に頂点の x 座標が含まれるかどうかで考えていきましょう。

最小値が求まればグラフをかくのは簡単です。