センター試験 数学II・数学B 2020年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

(正規分布表は省略しています)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて31ページの正規分布表を用いてもよい。

 有権者数が1万人を超えるある地域において、選挙が実施された。

(1) 今回実施された選挙の有権者全員を対象として、今回の選挙と前回の選挙のそれぞれについて、投票したか、棄権した(投票しなかった)かを調査した。今回の選挙については、
  今回投票、今回棄権
の2通りのどちらであるかを調べ、前回の選挙については、選挙権がなかった者が含まれているので、
  前回投票、前回棄権、前回選挙権なし
の3通りのいずれであるかを調べた。この調査の結果は下の表のようになった。たとえば、この有権者全体において、今回棄権かつ前回投票の割合は $10$ %であることを示している。このとき、今回投票かつ前回棄権の人の割合は $\myBox{アイ}$ %である。

前回投票 前回棄権 前回選挙権なし
今回投票 $45$ % $\mybox{アイ}$ % $3$ %
今回棄権 $10$ % $29$ % $1$ %

 この有権者全体から無作為に1人を選ぶとき、今回投票の人が選ばれる確率は $0.\myBox{ウエ}$ であり、前回投票の人が選ばれる確率は $0.\myBox{オカ}$ である。

 また、今回の有権者全体から900人を無作為に抽出したとき、その中で、今回棄権かつ前回投票の人数を表す確率変数を $X$ とする。このとき、 $X$ は二項分布 $B(900,0.\myBox{キク})$ に従うので、 $X$ の平均(期待値)は $\myBox{ケコ}$, 標準偏差は $\myBox{サ}.\myBox{シ}$ である。

 次に、 $X$ が $105$ 以上になる確率を求めよう。 $Z=\dfrac{X-\mybox{ケコ}}{\mybox{サ}.\mybox{シ}}$ とおくと、標本数は十分に大きいので、 $Z$ は近似的に標準正規分布に従う。よって、この確率は $0.\myBox{スセ}$ と求められる。

(2) 今回の有権者全体を母集団とし、支持する政党がある人の割合(母比率) $p$ を推定したい。このとき、調査する有権者数について考えよう。

 母集団から $n$ 人を無作為に抽出したとき、その中で、支持する政党がある人の割合(標本比率)を確率変数 $R$ で表すと、 $R$ は近似的に平均 $p$ 、標準偏差 $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ の正規分布に従う。

 実際に、 $n$ 人を無作為に抽出して得られた標本比率の値を $r$ とすると、 $n$ が十分に大きいとすれば、標準偏差を $\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n}}$ で置き換えることにより、 $p$ に対する信頼度 $95$ % の信頼区間 $C\leqq p \leqq D$ を求めることができる。その信頼区間の幅は $L=D-C=1.96\times\myBox{ソ}$ になる。 $\myBox{ソ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: $\dfrac{\sqrt{r(1-r)}}{n}$

 1: $\dfrac{\sqrt{2r(1-r)}}{n}$

 2: $\dfrac{2\sqrt{r(1-r)}}{n}$

 3: $\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n}}$

 4: $\sqrt{\dfrac{2r(1-r)}{n}}$

 5: $2\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n}}$

 過去の調査から、母比率はおよそ $50$ % と予想されることから、 $r=0.5$ とする。このとき、 $L=0.1$ になるような $n$ の値を求めると、 $n=\myBox{タチツ}$ であり、この $n$ の値は十分に大きいと考えられる。ただし、 $1.96^2=3.84$ として計算すること。

 $\mybox{タチツ}$ 人を調査して、 $p$ に対する信頼度 $95$ % の信頼区間を求めると、この信頼区間の幅 $L$ は $\myBox{テ}$ 。 $\myBox{テ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 2 から一つ選べ。

 0: $r$ の値によって変化せず、一定である
 1: $r$ の値によって変化して、 $r=0.5$ のとき最大となる
 2: $r$ の値によって変化して、 $r=0.5$ のとき最小となる

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考え方

題材が珍しいですが、問題の流れは例年とほとんど変わりません。二項分布に関連する計算、正規分布表を使った確率の計算、母比率の推定など、毎年よく出るものが出題されているので、過去問をよくやっていればだいたい解けるでしょう。難しい計算もほとんどありません。

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