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センター試験 数学II・数学B 2020年度追試 第5問 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

(正規分布表は省略しています)

問題編

問題

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて31ページの正規分布表を用いてもよい。

 有権者数が1万人を超えるある地域において、選挙が実施された。

(1) 今回実施された選挙の有権者全員を対象として、今回の選挙と前回の選挙のそれぞれについて、投票したか、棄権した(投票しなかった)かを調査した。今回の選挙については、
  今回投票、今回棄権
の2通りのどちらであるかを調べ、前回の選挙については、選挙権がなかった者が含まれているので、
  前回投票、前回棄権、前回選挙権なし
の3通りのいずれであるかを調べた。この調査の結果は下の表のようになった。たとえば、この有権者全体において、今回棄権かつ前回投票の割合は $10$ %であることを示している。このとき、今回投票かつ前回棄権の人の割合は $\myBox{アイ}$ %である。

前回投票前回棄権前回選挙権なし
今回投票$45$ %$\mybox{アイ}$ %$3$ %
今回棄権$10$ %$29$ %$1$ %

 この有権者全体から無作為に1人を選ぶとき、今回投票の人が選ばれる確率は $0.\myBox{ウエ}$ であり、前回投票の人が選ばれる確率は $0.\myBox{オカ}$ である。

 また、今回の有権者全体から900人を無作為に抽出したとき、その中で、今回棄権かつ前回投票の人数を表す確率変数を $X$ とする。このとき、 $X$ は二項分布 $B(900,0.\myBox{キク})$ に従うので、 $X$ の平均(期待値)は $\myBox{ケコ}$, 標準偏差は $\myBox{サ}.\myBox{シ}$ である。

 次に、 $X$ が $105$ 以上になる確率を求めよう。 $Z=\dfrac{X-\mybox{ケコ} }{\mybox{サ}.\mybox{シ} }$ とおくと、標本数は十分に大きいので、 $Z$ は近似的に標準正規分布に従う。よって、この確率は $0.\myBox{スセ}$ と求められる。

(2) 今回の有権者全体を母集団とし、支持する政党がある人の割合(母比率) $p$ を推定したい。このとき、調査する有権者数について考えよう。

 母集団から $n$ 人を無作為に抽出したとき、その中で、支持する政党がある人の割合(標本比率)を確率変数 $R$ で表すと、 $R$ は近似的に平均 $p$ 、標準偏差 $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n} }$ の正規分布に従う。

 実際に、 $n$ 人を無作為に抽出して得られた標本比率の値を $r$ とすると、 $n$ が十分に大きいとすれば、標準偏差を $\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n} }$ で置き換えることにより、 $p$ に対する信頼度 $95$ % の信頼区間 $C\leqq p \leqq D$ を求めることができる。その信頼区間の幅は $L=D-C=1.96\times\myBox{ソ}$ になる。 $\myBox{ソ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: $\dfrac{\sqrt{r(1-r)} }{n}$

 1: $\dfrac{\sqrt{2r(1-r)} }{n}$

 2: $\dfrac{2\sqrt{r(1-r)} }{n}$

 3: $\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n} }$

 4: $\sqrt{\dfrac{2r(1-r)}{n} }$

 5: $2\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n} }$

 過去の調査から、母比率はおよそ $50$ % と予想されることから、 $r=0.5$ とする。このとき、 $L=0.1$ になるような $n$ の値を求めると、 $n=\myBox{タチツ}$ であり、この $n$ の値は十分に大きいと考えられる。ただし、 $1.96^2=3.84$ として計算すること。

 $\mybox{タチツ}$ 人を調査して、 $p$ に対する信頼度 $95$ % の信頼区間を求めると、この信頼区間の幅 $L$ は $\myBox{テ}$ 。 $\myBox{テ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 2 から一つ選べ。

 0: $r$ の値によって変化せず、一定である
 1: $r$ の値によって変化して、 $r=0.5$ のとき最大となる
 2: $r$ の値によって変化して、 $r=0.5$ のとき最小となる

考え方

題材が珍しいですが、問題の流れは例年とほとんど変わりません。二項分布に関連する計算、正規分布表を使った確率の計算、母比率の推定など、毎年よく出るものが出題されているので、過去問をよくやっていればだいたい解けるでしょう。難しい計算もほとんどありません。


【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

(正規分布表は省略しています)

解答編

問題

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて31ページの正規分布表を用いてもよい。

 有権者数が1万人を超えるある地域において、選挙が実施された。

(1) 今回実施された選挙の有権者全員を対象として、今回の選挙と前回の選挙のそれぞれについて、投票したか、棄権した(投票しなかった)かを調査した。今回の選挙については、
  今回投票、今回棄権
の2通りのどちらであるかを調べ、前回の選挙については、選挙権がなかった者が含まれているので、
  前回投票、前回棄権、前回選挙権なし
の3通りのいずれであるかを調べた。この調査の結果は下の表のようになった。たとえば、この有権者全体において、今回棄権かつ前回投票の割合は $10$ %であることを示している。このとき、今回投票かつ前回棄権の人の割合は $\myBox{アイ}$ %である。

前回投票前回棄権前回選挙権なし
今回投票$45$ %$\mybox{アイ}$ %$3$ %
今回棄権$10$ %$29$ %$1$ %

解説

有権者全体を表にある6つのカテゴリーに分けているので、すべて足すと $100$ % になります。なので、今回投票かつ前回棄権の人の割合は
\begin{eqnarray} 100-(45+3+10+29+1) &=& 100-88 \\[5pt] &=& 12 \end{eqnarray}% となります。

解答

アイ:12

解答編 つづき

問題

 この有権者全体から無作為に1人を選ぶとき、今回投票の人が選ばれる確率は $0.\myBox{ウエ}$ であり、前回投票の人が選ばれる確率は $0.\myBox{オカ}$ である。

解説

今回投票の人の割合は\[ 45+12+3=60 \]% なので、無作為に1人を選んで、その人が今回投票の人である確率は $0.60$ となります。

前回投票の人の割合は\[ 45+10=55 \]% なので、無作為に1人を選んで、その人が前回投票の人である確率は $0.55$ となります。

解答

ウエ:60
オカ:55

解答編 つづき

問題

 また、今回の有権者全体から900人を無作為に抽出したとき、その中で、今回棄権かつ前回投票の人数を表す確率変数を $X$ とする。このとき、 $X$ は二項分布 $B(900,0.\myBox{キク})$ に従うので、 $X$ の平均(期待値)は $\myBox{ケコ}$, 標準偏差は $\myBox{サ}.\myBox{シ}$ である。

解説

今回棄権かつ前回投票の人の割合は、全体の $10$ % なので、 $X$ は二項分布 $B(900, 0.10)$ に従います。

$X$ の期待値は\[ 900\times 0.10=90 \]であり、標準偏差は\[ \sqrt{900\times 0.1\times(1-0.1)}=9.0 \]となります。

解答

キク:10
ケコ:90
サシ:90

解答編 つづき

問題

 次に、 $X$ が $105$ 以上になる確率を求めよう。 $Z=\dfrac{X-\mybox{ケコ} }{\mybox{サ}.\mybox{シ} }$ とおくと、標本数は十分に大きいので、 $Z$ は近似的に標準正規分布に従う。よって、この確率は $0.\myBox{スセ}$ と求められる。

解答

$X$ に関する条件を $Z$ に関する条件に変形して考えます。
\begin{eqnarray} & & P\left( X \geqq 105 \right) \\[5pt] &=& P\left( X-90 \geqq 105-90 \right) \\[5pt] &=& P\left( \frac{X-90}{9} \geqq \frac{15}{9} \right) \\[5pt] &=& P\left( Z \geqq \frac{5}{3} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} -P\left(0\leqq Z \lt \frac{5}{3} \right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、正規分布表で $1.66$ の部分を見ると、 $0.4515$ なので、この確率は\[ 0.5-0.4515=0.0485 \]となります。解答欄に合う形に四捨五入すると、 $0.05$ となります。

解答

スセ:05

解答編 つづき

問題

(2) 今回の有権者全体を母集団とし、支持する政党がある人の割合(母比率) $p$ を推定したい。このとき、調査する有権者数について考えよう。

 母集団から $n$ 人を無作為に抽出したとき、その中で、支持する政党がある人の割合(標本比率)を確率変数 $R$ で表すと、 $R$ は近似的に平均 $p$ 、標準偏差 $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n} }$ の正規分布に従う。

 実際に、 $n$ 人を無作為に抽出して得られた標本比率の値を $r$ とすると、 $n$ が十分に大きいとすれば、標準偏差を $\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n} }$ で置き換えることにより、 $p$ に対する信頼度 $95$ % の信頼区間 $C\leqq p \leqq D$ を求めることができる。その信頼区間の幅は $L=D-C=1.96\times\myBox{ソ}$ になる。 $\myBox{ソ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: $\dfrac{\sqrt{r(1-r)} }{n}$

 1: $\dfrac{\sqrt{2r(1-r)} }{n}$

 2: $\dfrac{2\sqrt{r(1-r)} }{n}$

 3: $\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n} }$

 4: $\sqrt{\dfrac{2r(1-r)}{n} }$

 5: $2\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{n} }$

解説

正規分布表を見ると、 $\dfrac{0.95}{2}=0.475$ となるのは $z_0=1.96$ のときです。つまり、 $Z$ が標準正規分布に従うとすると\[ P(-1.96\leqq Z \leqq 1.96)=0.95 \]ということです。このときの信頼区間は $1.96\times 2$ です。

これより、 $p$ に対する信頼区間の幅は\[ 1.96\times 2\sqrt{\frac{r(1-r)}{n} } \]となります。

解答

ソ:5

解答編 つづき

問題

 過去の調査から、母比率はおよそ $50$ % と予想されることから、 $r=0.5$ とする。このとき、 $L=0.1$ になるような $n$ の値を求めると、 $n=\myBox{タチツ}$ であり、この $n$ の値は十分に大きいと考えられる。ただし、 $1.96^2=3.84$ として計算すること。

解説

\begin{eqnarray} 0.1 &=& 1.96\times 2\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n} } \\[5pt] 0.1 &=& 1.96\times \sqrt{\frac{1}{n} } \\[5pt] \sqrt{n} &=& 1.96\times 10 \\[5pt] n &=& 1.96^2 \times 100 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。問題文に $1.96^2=3.84$ で計算するように指定されているので、 $n=384$ となります。

解答

タチツ:384

解答編 つづき

問題

 $\mybox{タチツ}$ 人を調査して、 $p$ に対する信頼度 $95$ % の信頼区間を求めると、この信頼区間の幅 $L$ は $\myBox{テ}$ 。 $\myBox{テ}$ に当てはまる最も適当なものを、次の 0 ~ 2 から一つ選べ。

 0: $r$ の値によって変化せず、一定である
 1: $r$ の値によって変化して、 $r=0.5$ のとき最大となる
 2: $r$ の値によって変化して、 $r=0.5$ のとき最小となる

解説

$p$ に対する信頼区間の幅 $L$ は $1.96\times 2\sqrt{\dfrac{r(1-r)}{384} }$ と書けます。ここで、
\begin{eqnarray} r(1-r) &=& -r^2+r \\[5pt] &=& - \left(r-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4} \end{eqnarray}だから、 $L$ は $r$ の値によって変化し、 $r=0.5$ のときに最大になることがわかります。

解答

テ:1

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