センター試験 数学II・数学B 2020年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$関数 $y=-2^{2x}+2^{x+4}-48$ について考える。

(1) $t=2^x$ とおく。 $y$ を $t$ の式で表すと\[ y=\myBox{ア}\left(t-\myBox{イ}\right)^2+\myBox{ウエ} \]となる。

 $x=1$ のとき、 $y=\myBox{オカキ}$ である。 $x\geqq 1$ のとき、 $y$ は $x=\myBox{ク}$ で最大値 $\myBox{ケコ}$ をとる。

(2) $k\gt 1$ とする。 $x$ が $1\leqq x\leqq k$ の範囲を動くとき、 $y$ の最小値が $\mybox{オカキ}$ であるような $k$ の値の範囲は\[ 1\lt k\leqq \log_2\myBox{サシ} \]である。この範囲に含まれる最大の整数の値は $\myBox{ス}$ である。

(3) $y=0$ を満たす $x$ は二つある。そのうちの小さい方は $\myBox{セ}$ である。また、大きい方は $\myBox{ソ}$ を満たす。 $\myBox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 9 のうちから一つ選べ。ただし、 $\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$ とする。

 0: $1\lt x\lt 1.2$
 1: $1.2\lt x\lt 1.3$
 2: $1.5\lt x\lt 1.6$
 3: $2.4\lt x\lt 2.5$
 4: $2.5\lt x\lt 2.6$
 5: $2.6\lt x\lt 2.8$
 6: $3.5\lt x\lt 3.6$
 7: $3.6\lt x\lt 3.8$
 8: $4.2\lt x\lt 4.4$
 9: $x\gt 10$

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考え方

変換して関数の最大値や最小値を考えるのは、よくある問題です。最後は、与えられた常用対数の値が使えるようにうまく変形します。