センター試験 数学II・数学B 2020年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$初項 $a_1$ が $1$ であり、次の条件①, ②によって定まる数列 $\{a_n\}$ を考えよう。
\begin{eqnarray}
& & a_{2n} = a_n & (n=1,2,3,\cdots)\quad \cdots ① \\[5pt] & & a_{2n+1} = a_n+a_{n+1} & (n=1,2,3,\cdots)\quad \cdots ② \\[5pt] \end{eqnarray}

(1) ①により $a_2=a_1$ となるので $a_2=1$ であり、②により $a_3=a_1+a_2$ となるので $a_3=2$ である。同様に
\begin{eqnarray}
a_4 &=& \myBox{ア}, \\[5pt] a_5 &=& \myBox{イ}, \\[5pt] a_6 &=& \myBox{ウ}, \\[5pt] a_7 &=& \myBox{エ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 また、 $a_{18}$ については、 $a_{18}=a_9$ により $a_{18}=\myBox{オ}$ であり、 $a_{38}$ については、 $a_{38}=a_{19}=a_9+a_{10}$ により $a_{38}=\myBox{カ}$ である。

(2) $k$ を自然数とする。①により $\{a_n\}$ の第 $3\cdot 2^k$ 項は $\myBox{キ}$ である。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の第3項以降を次のように群に分ける。ただし、第 $k$ 群は $2^k$ 個の項からなるものとする。
\begin{eqnarray}
& a_3, a_4 & \mid & a_5, a_6, a_7, a_8 & \mid & a_9,\cdots, a_{16} & \mid a_{17}, \cdots & \\[5pt] & 第1群 & & \quad 第2群 & & \quad 第3群 & & \\[5pt] \end{eqnarray}

2以上の自然数 $k$ に対して、 $\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} 2^j=\myBox{ク}^{\myBox{ケ}}-\myBox{コ}$ なので、第 $k$ 群の最初の項は、 $\{a_n\}$ の第 $\left(\mybox{ク}^{\mybox{ケ}}+\myBox{サ}\right)$ 項であり、第 $k$ 群の最後の項は、 $\{a_n\}$ の第 $\mybox{ク}^{\myBox{シ}}$ 項である。ただし、 $\myBox{ケ}$, $\myBox{シ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

 0: $k-2$
 1: $k-1$
 2: $k$
 3: $k+1$
 4: $k+2$

 第 $k$ 群に含まれるすべての項の和を $S_k$, 第 $k$ 群に含まれるすべての奇数番目の項の和を $T_k$, 第 $k$ 群に含まれるすべての偶数番目の項の和を $U_k$ とする。たとえば
\begin{eqnarray}
S_1 &=& a_3+a_4, \\[5pt] T_1 &=& a_3, \\[5pt] U_1 &=& a_4 \\[5pt] \\
S_2 &=& a_5+a_6+a_7+a_8, \\[5pt] T_2 &=& a_5+a_7, \\[5pt] U_2 &=& a_6+a_8 \\[5pt] \end{eqnarray}であり
\begin{eqnarray}
S_1 &=& \myBox{ス}, \\[5pt] S_2 &=& \myBox{セ}, \\[5pt] T_2 &=& \myBox{ソ}, \\[5pt] U_2 &=& \myBox{タ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

(4) (3)で定めた数列 $\{S_k\}$, $\{T_k\}$, $\{U_k\}$ の一般項をそれぞれ求めよう。

 ①により $U_{k+1}=\myBox{チ}$ となる。また、 $\{a_n\}$ の第 $2^k$ 項と第 $2^{k+1}$ 項が等しいことを用いると、②により $T_{k+1}=\myBox{ツ}$ となる。したがって、 $S_{k+1}=T_{k+1}+U_{k+1}$ を用いると、 $S_{k+1}=\myBox{テ}$ となる。 $\myBox{チ}$, $\myBox{ツ}$, $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 9 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: $S_k$
 1: $S_k+3k$
 2: $T_k$
 3: $U_k$
 4: $2S_k$
 5: $2T_k$
 6: $2T_k+2k-1$
 7: $2T_k+k(k+1)$
 8: $3S_k$
 9: $3S_k+(k-1)(k-2)$

 以上のことから
\begin{eqnarray}
S_k &=& \myBox{ト}, \\[5pt] T_k &=& \myBox{ナ}, \\[5pt] U_k &=& \myBox{ニ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $\myBox{ト}$, $\myBox{ナ}$, $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ b のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: $2k^2-4k+3$
 1: $3^{k-1}$
 2: $2^{k+1}-2k-1$
 3: $2^{k+2}-2k^2-5$
 4: $4k^2-8k+6$
 5: $2\cdot 3^{k-1}$
 6: $2^{k+2}-4k-2$
 7: $2^{k+3}-4k^2-10$
 8: $6k^2-12k+9$
 9: $3^k$
 a: $3\cdot 2^{k+1}-6k-3$
 b: $3\cdot 2^{k+2}-6k^2-15$

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考え方

実際の問題用紙では4ページもあり、通常よりも多いです。ボリュームが多い上、よくわからない数列だし、群数列だし、選択肢が多すぎるし、戦意が喪失しそうです。

複雑な計算はないのですが、(4)の前半でどうやって和を求めるのかはよく考えないといけません。全体的に誘導は丁寧ですが、(4)の前半は自力でなんとかするしかありません。