センター試験 数学II・数学B 2020年度追試 第3問 解説

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

問題編

問題

　初項 $a_1$ が $1$ であり、次の条件①, ②によって定まる数列 $\{a_n\}$ を考えよう。
\begin{eqnarray} & & a_{2n} = a_n & (n=1,2,3,\cdots)\quad \cdots ① \\[5pt] & & a_{2n+1} = a_n+a_{n+1} & (n=1,2,3,\cdots)\quad \cdots ② \\[5pt] \end{eqnarray}

(1) ①により $a_2=a_1$ となるので $a_2=1$ であり、②により $a_3=a_1+a_2$ となるので $a_3=2$ である。同様に
\begin{eqnarray} a_4 &=& \myBox{ア}, \\[5pt] a_5 &=& \myBox{イ}, \\[5pt] a_6 &=& \myBox{ウ}, \\[5pt] a_7 &=& \myBox{エ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

　また、 $a_{18}$ については、 $a_{18}=a_9$ により $a_{18}=\myBox{オ}$ であり、 $a_{38}$ については、 $a_{38}=a_{19}=a_9+a_{10}$ により $a_{38}=\myBox{カ}$ である。

(2) $k$ を自然数とする。①により $\{a_n\}$ の第 $3\cdot 2^k$ 項は $\myBox{キ}$ である。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の第3項以降を次のように群に分ける。ただし、第 $k$ 群は $2^k$ 個の項からなるものとする。
\begin{array}{cccccccc} & a_3, a_4 & \mid & a_5, a_6, a_7, a_8 & \mid & a_9,\cdots, a_{16} & \mid a_{17}, \cdots & \\[5pt] & \sf{第1群} & & \sf{第2群} & & \sf{第3群} & & \\[5pt] \end{array}

2以上の自然数 $k$ に対して、 $\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} 2^j=\myBox{ク}^{\myBox{ケ} }-\myBox{コ}$ なので、第 $k$ 群の最初の項は、 $\{a_n\}$ の第 $\left(\mybox{ク}^{\mybox{ケ} }+\myBox{サ}\right)$ 項であり、第 $k$ 群の最後の項は、 $\{a_n\}$ の第 $\mybox{ク}^{\myBox{シ} }$ 項である。ただし、 $\myBox{ケ}$, $\myBox{シ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

　0: $k-2$
　1: $k-1$
　2: $k$
　3: $k+1$
　4: $k+2$

　第 $k$ 群に含まれるすべての項の和を $S_k$, 第 $k$ 群に含まれるすべての奇数番目の項の和を $T_k$, 第 $k$ 群に含まれるすべての偶数番目の項の和を $U_k$ とする。たとえば
\begin{eqnarray} S_1 &=& a_3+a_4, \\[5pt] T_1 &=& a_3, \\[5pt] U_1 &=& a_4 \\[5pt] \\ S_2 &=& a_5+a_6+a_7+a_8, \\[5pt] T_2 &=& a_5+a_7, \\[5pt] U_2 &=& a_6+a_8 \\[5pt] \end{eqnarray}であり \begin{eqnarray} S_1 &=& \myBox{ス}, \\[5pt] S_2 &=& \myBox{セ}, \\[5pt] T_2 &=& \myBox{ソ}, \\[5pt] U_2 &=& \myBox{タ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

(4) (3)で定めた数列 $\{S_k\}$, $\{T_k\}$, $\{U_k\}$ の一般項をそれぞれ求めよう。

　①により $U_{k+1}=\myBox{チ}$ となる。また、 $\{a_n\}$ の第 $2^k$ 項と第 $2^{k+1}$ 項が等しいことを用いると、②により $T_{k+1}=\myBox{ツ}$ となる。したがって、 $S_{k+1}=T_{k+1}+U_{k+1}$ を用いると、 $S_{k+1}=\myBox{テ}$ となる。 $\myBox{チ}$, $\myBox{ツ}$, $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 9 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　0: $S_k$
　1: $S_k+3k$
　2: $T_k$
　3: $U_k$
　4: $2S_k$
　5: $2T_k$
　6: $2T_k+2k-1$
　7: $2T_k+k(k+1)$
　8: $3S_k$
　9: $3S_k+(k-1)(k-2)$

　以上のことから
\begin{eqnarray} S_k &=& \myBox{ト}, \\[5pt] T_k &=& \myBox{ナ}, \\[5pt] U_k &=& \myBox{ニ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $\myBox{ト}$, $\myBox{ナ}$, $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ b のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　0: $2k^2-4k+3$
　1: $3^{k-1}$
　2: $2^{k+1}-2k-1$
　3: $2^{k+2}-2k^2-5$
　4: $4k^2-8k+6$
　5: $2\cdot 3^{k-1}$
　6: $2^{k+2}-4k-2$
　7: $2^{k+3}-4k^2-10$
　8: $6k^2-12k+9$
　9: $3^k$
　a: $3\cdot 2^{k+1}-6k-3$
　b: $3\cdot 2^{k+2}-6k^2-15$

考え方

実際の問題用紙では4ページもあり、通常よりも多いです。ボリュームが多い上、よくわからない数列だし、群数列だし、選択肢が多すぎるし、戦意が喪失しそうです。

複雑な計算はないのですが、(4)の前半でどうやって和を求めるのかはよく考えないといけません。全体的に誘導は丁寧ですが、(4)の前半は自力でなんとかするしかありません。

【選択問題】(第3問～第5問から2問選択)

解答編

問題

　初項 $a_1$ が $1$ であり、次の条件①, ②によって定まる数列 $\{a_n\}$ を考えよう。
\begin{eqnarray} & & a_{2n} = a_n & (n=1,2,3,\cdots)\quad \cdots ① \\[5pt] & & a_{2n+1} = a_n+a_{n+1} & (n=1,2,3,\cdots)\quad \cdots ② \\[5pt] \end{eqnarray}

(1) ①により $a_2=a_1$ となるので $a_2=1$ であり、②により $a_3=a_1+a_2$ となるので $a_3=2$ である。同様に
\begin{eqnarray} a_4 &=& \myBox{ア}, \\[5pt] a_5 &=& \myBox{イ}, \\[5pt] a_6 &=& \myBox{ウ}, \\[5pt] a_7 &=& \myBox{エ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

解説

①より\[ a_4=a_2=1 \]です。②より\[ a_5=a_2+a_3=1+2=3 \]です。①より\[ a_6=a_3=2 \]です。②より\[ a_7=a_3+a_4=2+1=3 \]です。

解答

ア：1
イ：3
ウ：2
エ：3

解答編 つづき

問題

　また、 $a_{18}$ については、 $a_{18}=a_9$ により $a_{18}=\myBox{オ}$ であり、 $a_{38}$ については、 $a_{38}=a_{19}=a_9+a_{10}$ により $a_{38}=\myBox{カ}$ である。

解説

解答

オ：4
カ：7

解答編 つづき

問題

(2) $k$ を自然数とする。①により $\{a_n\}$ の第 $3\cdot 2^k$ 項は $\myBox{キ}$ である。

解説

①を繰り返し使うと、第 $3\cdot 2^k$ 項と第 $3\cdot 2^{k-1}$ 項は等しく、第 $3\cdot 2^{k-2}$ 項とも等しく、第 $3\cdot 2^{k-3}$ 項とも等しく、以下、繰り返していくと第 $3$ 項と等しいことがわかります。なので、 $a_3=2$ と等しくなります。

解答

キ：2

解答編 つづき

問題

(3) 数列 $\{a_n\}$ の第3項以降を次のように群に分ける。ただし、第 $k$ 群は $2^k$ 個の項からなるものとする。
\begin{array}{cccccccc} & a_3, a_4 & \mid & a_5, a_6, a_7, a_8 & \mid & a_9,\cdots, a_{16} & \mid a_{17}, \cdots & \\[5pt] & \sf{第1群} & & \sf{第2群} & & \sf{第3群} & & \\[5pt] \end{array}

2以上の自然数 $k$ に対して、 $\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} 2^j=\myBox{ク}^{\myBox{ケ} }-\myBox{コ}$ なので、第 $k$ 群の最初の項は、 $\{a_n\}$ の第 $\left(\mybox{ク}^{\mybox{ケ} }+\myBox{サ}\right)$ 項であり、第 $k$ 群の最後の項は、 $\{a_n\}$ の第 $\mybox{ク}^{\myBox{シ} }$ 項である。ただし、 $\myBox{ケ}$, $\myBox{シ}$ については、当てはまるものを、次の 0 ～ 4 のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

　0: $k-2$
　1: $k-1$
　2: $k$
　3: $k+1$
　4: $k+2$

解説

$\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} 2^j$ は、初項が $2$ で公比が $2$ の等比数列の $k-1$ 項目までの和なので
\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{k-1} 2^j &=& \frac{2(2^{k-1}-1)}{2-1}=2^k-2 \end{eqnarray}となります。

第 $k$ 群の最初の項について考えます。この項の前には、第 $1$ 群から第 $k-1$ 群までがあります。この項の数は $\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} 2^j=2^k-2$ です。また、第 $1$ 項は、 $a_1$, $a_2$ を飛ばして第 $3$ 項から始まるので、第 $k$ 群の最初の項は、数列 $\{a_n\}$ の
\begin{eqnarray} 2+(2^k-2)+1=2^k+1 \end{eqnarray}項目であることがわかります。確認のため、 $k=2$ とすれば、 $2^2+1=5$ であり、間違ってはいないです。

第 $k$ 群の最後の項は、第 $k+1$ 群の最初の項の1つ前の項です。なので、 $\{a_n\}$ の第 $(2^{k+1}+1)-1=2^{k+1}$ 項であることがわかります。確認のため、 $k=2$ とすれば、 $2^{2+1}=8$ であり、間違ってはいないです。

解答

クケコ：222
サ：1
シ：3

解答編 つづき

問題

　第 $k$ 群に含まれるすべての項の和を $S_k$, 第 $k$ 群に含まれるすべての奇数番目の項の和を $T_k$, 第 $k$ 群に含まれるすべての偶数番目の項の和を $U_k$ とする。たとえば
\begin{eqnarray} S_1 &=& a_3+a_4, \\[5pt] T_1 &=& a_3, \\[5pt] U_1 &=& a_4 \\[5pt] \\ S_2 &=& a_5+a_6+a_7+a_8, \\[5pt] T_2 &=& a_5+a_7, \\[5pt] U_2 &=& a_6+a_8 \\[5pt] \end{eqnarray}であり \begin{eqnarray} S_1 &=& \myBox{ス}, \\[5pt] S_2 &=& \myBox{セ}, \\[5pt] T_2 &=& \myBox{ソ}, \\[5pt] U_2 &=& \myBox{タ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

解説

(1)で求めた値から
\begin{eqnarray} S_1=a_3+a_4=2+1=3 \\[5pt] \end{eqnarray}です。また、 \begin{eqnarray} T_2 &=& a_5+a_7 \\[5pt] &=& 3+3=6 \\[5pt] U_2 &=& a_6+a_8 \\[5pt] &=& 2+a_4 \\[5pt] &=& 2+1=3 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これより \begin{eqnarray} S_2 &=& a_5+a_7+a_6+a_8 \\[5pt] &=& T_2+U_2=6+3=9 \end{eqnarray}となります。

解答

ス：3
セ：9
ソ：6
タ：3

解答編 つづき

問題

(4) (3)で定めた数列 $\{S_k\}$, $\{T_k\}$, $\{U_k\}$ の一般項をそれぞれ求めよう。

　①により $U_{k+1}=\myBox{チ}$ となる。また、 $\{a_n\}$ の第 $2^k$ 項と第 $2^{k+1}$ 項が等しいことを用いると、②により $T_{k+1}=\myBox{ツ}$ となる。したがって、 $S_{k+1}=T_{k+1}+U_{k+1}$ を用いると、 $S_{k+1}=\myBox{テ}$ となる。 $\myBox{チ}$, $\myBox{ツ}$, $\myBox{テ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ 9 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　0: $S_k$
　1: $S_k+3k$
　2: $T_k$
　3: $U_k$
　4: $2S_k$
　5: $2T_k$
　6: $2T_k+2k-1$
　7: $2T_k+k(k+1)$
　8: $3S_k$
　9: $3S_k+(k-1)(k-2)$

解説

第 $k$ 群には、 $\{a_n\}$ の第 $2^k+1$ 項から第 $2^{k+1}$ 項までが含まれています。

第 $k+1$ 群には、 $\{a_n\}$ の第 $2^{k+1}+1$ 項から第 $2^{k+2}$ 項までが含まれています。これの偶数番目の項とは、 $2^{k+1}+2$, $2^{k+1}+4$, …, $2^{k+1}+2^{k+1}=2^{k+2}$ 番目の項のことです。①より、これらは、 $2^{k}+1$, $2^{k}+2$, …, $2^{k+1}$ 番目の項とそれぞれ等しいので、第 $k$ 群に含まれている項と一致します。なので、\[ U_{k+1}=S_k \]が成り立ちます。

$\{a_n\}$ の第 $2^{k+1}+1$ 項から第 $2^{k+2}$ 項の奇数番目の項とは、 $2^{k+1}+1$, $2^{k+1}+3$, …, $2^{k+1}+2^{k+1}-1=2^{k+2}-1$ 番目の項のことです。②より、

　$2^{k+1}+1$ 項目： $2^k$ 項目と $2^k+1$ 項目の和
　$2^{k+1}+3$ 項目： $2^k+1$ 項目と $2^k+2$ 項目の和
　$2^{k+1}+5$ 項目： $2^k+2$ 項目と $2^k+3$ 項目の和
　…
　$2^{k+2}-3$ 項目： $2^{k+1}-2$ 項目と $2^{k+1}-1$ 項目の和
　$2^{k+2}-1$ 項目： $2^{k+1}-1$ 項目と $2^{k+1}$ 項目の和

となります。左側を縦に足したものが $T_{k+1}$ ですが、これは右側の2つを縦に足したものと同じです。これを見ると、

　$2^k+1$ 項目から $2^{k+1}-1$ 項目までを2回
　$2^k$ 項目と $2^{k+1}$ 項目を1回

足したものです。①より、 $2^{k+1}$ 項目と $2^k$ 項目は等しいので、これは結局

　$2^k+1$ 項目から $2^{k+1}$ 項目までを2回

足したものと一致します。つまり、 $T_{k+1}=2S_k$ ということです。

以上から
\begin{eqnarray} S_{k+1} &=& T_{k+1}+U_{k+1} \\[5pt] &=& 2S_k+S_k \\[5pt] &=& 3S_k \\[5pt] \end{eqnarray}となります。(3)の結果とも整合性がとれています。

解答

チ：0
ツ：4
テ：8

解答編 つづき

問題

　以上のことから
\begin{eqnarray} S_k &=& \myBox{ト}, \\[5pt] T_k &=& \myBox{ナ}, \\[5pt] U_k &=& \myBox{ニ} \\[5pt] \end{eqnarray}である。 $\myBox{ト}$, $\myBox{ナ}$, $\myBox{ニ}$ に当てはまるものを、次の 0 ～ b のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　0: $2k^2-4k+3$
　1: $3^{k-1}$
　2: $2^{k+1}-2k-1$
　3: $2^{k+2}-2k^2-5$
　4: $4k^2-8k+6$
　5: $2\cdot 3^{k-1}$
　6: $2^{k+2}-4k-2$
　7: $2^{k+3}-4k^2-10$
　8: $6k^2-12k+9$
　9: $3^k$
　a: $3\cdot 2^{k+1}-6k-3$
　b: $3\cdot 2^{k+2}-6k^2-15$

解説

数列 $\{S_k\}$ は、初項が $S_1=3$ で、公比が $3$ の等比数列だから、 $S_k=3^k$ です。

$k\geqq 2$ のとき、 $T_k=2S_{k-1}$ なので、 $T_k=2\cdot 3^{k-1}$ です。 $T_1=a_3=2$ なので、 $k=1$ のときもこの式は成り立ちます。

また、
\begin{eqnarray} U_k &=& S_k-T_k \\[5pt] &=& 3^k-2\cdot 3^{k-1} \\[5pt] &=& 3^{k-1} \end{eqnarray}と求められます。

解答

ト：9
ナ：5
ニ：1