センター試験 数学II・数学B 2020年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$関数 $f(x)=\sqrt{3}\cos \left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3} \cos 3x$ について考える。

(1) 三角関数の加法定理および合成を用いると
\begin{eqnarray}
f(x)
&=&
-\frac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\sin 3x+\frac{\myBox{ツ}\sqrt{\myBox{テ}}}{\mybox{チ}} \cos 3x \\[5pt] &=&
\myBox{ト} \sin \left(3x+\frac{\myBox{ナ}}{\myBox{ニ}}\pi\right) \\[5pt] \end{eqnarray}と表される。ただし、 $0\lt \dfrac{\mybox{ナ}}{\mybox{ニ}}\pi\leqq 2\pi$ とする。

 したがって、 $f(x)$ の最大値は $\myBox{ヌ}$ である。また、 $f(x)$ の正の周期のうち最小のものは $\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}\pi$ である。

(2) $f(x)$ を $0\leqq x\leqq 2\pi$ の範囲で考えたとき、実数 $t$ に対して $f(x)=t$ となる $x$ の値の個数 $N$ を調べよう。 $3x+\frac{\mybox{ナ}}{\mybox{ニ}}\pi$ のとり得る値の範囲に注意すると、次のことがわかる。

 $|t|\gt \mybox{ヌ}$ のとき、 $N=\myBox{ハ}$ である。

 $t= \mybox{ヌ}$ のとき、 $N=\myBox{ヒ}$ である。

 $|t|=f(0)$ のとき、 $N=\myBox{フ}$ である。

 $|t|\lt \mybox{ヌ}$ かつ $t\ne f(0)$ のとき、 $N=\myBox{ヘ}$ である。

 $t=-\mybox{ヌ}$ のとき、 $N=\myBox{ホ}$ である。

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考え方

前半の計算は少し手間がかかりますが、ここを間違うと全滅するので慎重にやりましょう。

(2)は、グラフをかいて考えましょう。なお、 $0\leqq x\leqq 2\pi$ というように、 $x=2\pi$ のときも含まれていることに注意しましょう。

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