センター試験 数学II・数学B 2015年度 第5問 解説

解答編

(正規分布表は省略しています)

【問題】
 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。
 また、小数の形で解答する場合、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入し、解答せよ。途中で割り切れた場合、指定された桁まで0にマークすること。

(1) 袋の中に白球が4個、赤球が3個入っている。この袋の中から同時に3個の球を取り出すとき、白球の個数をWとする。確率変数Wについて
\begin{eqnarray}
& & P(W=0)=\frac{[ア]}{[イウ]}, \quad P(W=1)=\frac{[エオ]}{[イウ]} \\[5pt] & & P(W=2)=\frac{[カキ]}{[イウ]}, \quad P(W=3)=\frac{[ク]}{[イウ]}
\end{eqnarray}であり、期待値(平均)は、$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$、分散は$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である。

【解説】
白球が4個、赤球が3個入っている袋から、同時に3個の玉を取り出すので、取り出し方は、$_7\mathrm{ C }_3=35$通りあります。

白球が0になる取り出し方は、赤3個から玉3個をとる方法なので、$_3\mathrm{ C }_3=1$通り。
白球が1個になる取り出し方は、白の選び方が$_4\mathrm{ C }_1=4$、赤の選び方が$_3\mathrm{ C }_2=3$なので、12通り。
白玉が2個になる取り出し方は、$_4\mathrm{ C }_2\times _3\mathrm{ C }_1=18$通り。
白が3個になる取り出し方は、$_4\mathrm{ C }_3=4$通り。

よって、
 $P(W=0)=1/35$
 $P(W=1)=12/35$
 $P(W=2)=18/35$
 $P(W=3)=4/35$
となります。

期待値は
\begin{eqnarray}
& & 0 \times \frac{1}{35} + 1 \times \frac{12}{35} + 2 \times \frac{18}{35} + 3 \times \frac{4}{35} \\[5pt] &=&
\frac{12}{7}
\end{eqnarray}となります。

分散は、
\begin{eqnarray}
& & 0^2 \times \frac{1}{35} + 1^2 \times \frac{12}{35} + 2^2 \times \frac{18}{35} + 3^2 \times \frac{4}{35} – \left( \frac{12}{7} \right)^2 \\[5pt] &=& \frac{120}{35} – \frac{144}{49} = \frac{24}{49}
\end{eqnarray}
となります。

【解答】
アイウ:135
エオ:12
カキ:18
ク:4
ケコサ:127
シスセソ:2449

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【問題】
(2) 確率変数Zが正規分布に従うとき\[ P(-[タ]\leqq Z \leqq [タ]) =0.99 \]が成り立つ。[タ]に当てはまる最も適切なものを、次の0~3のうちから一つ選べ。

 0: 1.64、 1: 1.96、 2: 2.33、 3: 2.58

【解説】
問題文に掲載されている正規分布表を用いて答えます。正規分布表は、各$z_0$に対して
\begin{eqnarray}
P(0 \leqq Z \leqq z_0)
\end{eqnarray}の値が表示されています。よって、今考えている問題では、
\begin{eqnarray}
P(0 \leqq Z \leqq x) = 0.495
\end{eqnarray}となる$x$を表から見つければ、それが答えになります。これを見ると、$x$が2.57のときに0.4949、$x$が2.58のときに0.4951となるので、これらが求める値に近いことが分かります。選択肢の中では、2.58が答えだとわかります。

なお、他の選択肢も、よく使われる数字です。
1.64は、$P(-x \leqq Z \leqq x) = 0.90$となるxです。
1.96は、$P(-x \leqq Z \leqq x) = 0.95$となるxです。
2.33は、$P(Z \leqq x) = 0.99$となるxです。

【解答】
タ:3

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【問題】
(3) 母標準偏差$\sigma$の母集団から、大きさnの無作為標本を抽出する。ただし、nは十分に大きいとする。この標本から得られる母平均mの信頼度(信頼係数)95%の信頼区間を$A\leqq m \leqq B$とし、この信頼区間の幅$L_1$を$L_1=B-A$で定める。

 この標本から得られる信頼度99%の信頼区間を$C\leqq m \leqq D$とし、この信頼区間の幅$L_2$を$L_2=D-C$で定めると\[ \frac{L_2}{L_1}=[チ].[ツ] \]が成り立つ。また、同じ母集団から、大きさ$4n$の無作為標本を抽出して得られる母平均mの信頼度95%の信頼区間を$E\leqq m \leqq F$とし、この信頼区間の幅$L_3$を$L_3=F-E$で定める。このとき\[ \frac{L_3}{L_1}=[テ].[ト] \]が成り立つ。

【解説】
(2)で見た通り、標準正規分布$Z$が$P(-x \leqq Z \leqq x) = 0.99$となる$x$は2.58であり、同様に正規分布表を見ると、$P(-x \leqq Z \leqq x) = 0.95$となる$x$は1.96であるから、
\begin{eqnarray}
\frac{L_2}{L_1} = \frac{2.58}{1.96} = 1.316\cdots
\end{eqnarray}となります。

また、信頼区間の幅は、データ数の$-\frac{1}{2}$乗に比例するので、$L_3$は$L_1\times4^{-1/2}$となります。よって、$\frac{L_3}{L_1}=0.5$となります。

【解答】
チツ:13
テト:05