【標準】円の接線の方程式(傾き指定)

ここでは、傾きが指定された状況で、円に接する直線の方程式を求める問題を考えます。

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傾きが指定された円の接線の方程式

例題
円 $x^2+2x+y^2-4y-5=0$ に接し、傾きが $3$ の直線の方程式を求めなさい。

傾きが $3$ だと言われているので、求める直線の方程式は $y=3x+c$ とおけます(c は定数)。

図は上のようになっていて、傾きが $3$ の接線は、2本ありそうです。

接線の方程式は、【基本】円の接線の方程式でも扱いました。しかし、注意が必要なのは、リンク先で紹介している式は、接線の方程式を得るために接点の座標を使っている点です。今、接点の座標はわかりません。そのため、直接使うことはできません。

今の問題では、接点の座標を求める必要はありません。そのため、接点の座標を使って、さらにそれを用いた接線の方程式を使う、というのは、少し遠回りになってしまうんですね。この問題は、もっと簡単に解くことができます。

直線が円と接するとき、しかも接点の座標を求める必要がないときは、【基本】円と直線の共有点(中心からの距離に注目)で見た内容が使えます。つまり、「直線と円が接する」というのを、「円の中心と直線との距離が、円の半径に一致する」と言い換えるわけです。円の中心や半径は、円の方程式から出せます。中心と直線の距離も公式がありましたね。なので、これらを使えば、解けそうだな、という道筋ができます。

まずは、円の方程式を変形して、中心と半径が分かるようにしましょう。
\begin{eqnarray}
x^2+2x+y^2-4y-5 &=& 0 \\[5pt] (x+1)^2-1+(y-2)^2-4-5 &=& 0 \\[5pt] (x+1)^2+(y-2)^2 &=& 10 \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、中心が $(-1,2)$ で、半径が $\sqrt{10}$ であることがわかります。

さて、円の中心 $(-1,2)$ と直線 $y=3x+c$ との距離は、【標準】点と直線との距離で見た内容が使えます。直線の方程式は $3x-y+c=0$ とも書けるので、
\begin{eqnarray}
\frac{|3\cdot(-1)-2+c|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}} &=& \frac{|c-5|}{\sqrt{10}}
\end{eqnarray}となります。これが、半径 $\sqrt{10}$ と一致するので、
\begin{eqnarray}
\frac{|c-5|}{\sqrt{10}} &=& \sqrt{10} \\[5pt] |c-5| &=& 10 \\[5pt] c-5 &=& \pm 10 \\[5pt] c &=& 15,-5 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これより、求める直線の方程式は、\[ y=3x+15,\ y=3x-5 \]となります。

別の解き方として、 $y=3x+c$ を円の方程式に代入し、重解を持つ条件を考える、という方法もあります。ただ、計算は上よりも大変になります。点と直線との距離の公式が強力なので、これを使ったほうが楽になることが多いです。

おわりに

ここでは、傾きが指定された、円の接線の方程式について見てきました。「円の中心と直線との距離が、円の半径に一致する」と言い換えるところがポイントでした。どのように考えるかによって、計算量がかなり変わってくるので、いろんな方法を試しながら、どれで解くのがいいか、コツをつかんでいきましょう。