なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2017年度 第5問 解説

問題編

問題

 k を実数とし、座標平面上で次の2つの放物線 C, D の共通接線について考える。
\begin{eqnarray}
& & C: & & y = x^2+k \\
& & D: & & x = y^2+k \\
\end{eqnarray}

(1) 直線 $y=ax+b$ が共通接線であるとき、 a を用いて kb を表せ。ただし $a\ne -1$ とする。

(2) 傾きが2の共通接線が存在するように k の値を定める。このとき、共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きと y 切片を求めよ。

[広告]

考え方

(1)では、重解を持つことから、判別式が0になる条件を用いて、関係式を導きます。2つ式が出てくるので、どちらかの文字を消す方針で変形していきましょう。

(2)は、(1)から k を求めましょう。そして、他の a の値を求めます。

(1)の結果は、 $a\ne -1$ のケースしか考えていないことに注意しましょう。 k から a を求めるときに、(1)の結果を使っても、2本の接線しか出てきません。 a を求めるときは、2つの判別式が0になるという条件式を使いましょう。

次のページへ進む ⇒

[広告]
試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2017年度
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: ふつう
キーワード: 放物線, 接線, 判別式
更新日:2017/02/26