京都大学 理系 2006年度後期 第4問 解説

問題編

【問題】
 平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある。$\triangle \mathrm{ ABC }$の内接円の半径rは$\displaystyle \frac{1}{2}$以下であることを示せ。

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【考え方】
内接円の半径を求める方法は、式を使うなら「三角形の面積」に着目する方法が使えます。2通りで書いて、内接円の半径を計算していきます。

辺の長さをいじっていくのは難しいので、正弦定理をつかって三角関数に変換して考えたほうがいいでしょう。ただし、計算はかなり大変です。式変形だけで最後までたどり着くのはなかなか難しいです。

別解としては、一部分を図形的に解く方法があります。まず、内接円の半径が最大になるには、少なくとも二等辺三角形でないといけないこと、さらに、その中でも正三角形でないといけないことを示していきます。計算は必要ですが、「二等辺三角形のとき」であることがわかるだけでも、計算量はグッと減ります。

シンプルな問題文ですが、難易度はこの年で一番難しいです。