京都大学 理系 2006年度後期 第2問 解説

問題編

【問題】
 aを実数として、行列Aを$A=\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{pmatrix}$と定める。$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$とし、数列$\{x_n\}$、$\{y_n\}$を次の式で定める。\[ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}, \quad n=1,2,\cdots \]

 このとき数列$\{x_n\}$が収束するためのaの必要十分条件を求めよ。

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【考え方】
何も考えなければ、「$A^n$を求める」という攻め方になるでしょう。ただ、今の場合Aの形が特殊なので、$A^n$を求めることなく$x_n$を求めることができます。

ここでは、まず「$A^n$を求める」解答を書いた後に、別解として「$A^n$を求めない」方法も書きたいと思います。