センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$二等辺三角形 ABC において、 $\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }=2$, $\mathrm{ BC }=3$ とする。
 直線 AC 上に、 C とは異なる点 D を $\angle \mathrm{ ABC }=\angle \mathrm{ ABD }$ を満たすようにとると、 $\dfrac{\mathrm{ AD }}{\mathrm{ BD }} = \dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。 $\triangle \mathrm{ ABD }$ と $\triangle \mathrm{ BCD }$ において、 $\angle \mathrm{ ABD }=\angle \mathrm{ BCD }$ で $\angle \mathrm{ D }$ は共通であるから、 $\dfrac{\mathrm{ BD }}{\mathrm{ CD }} = \dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。 $\dfrac{\mathrm{ AD }}{\mathrm{ CD }} = \dfrac{\mathrm{ AD }}{\mathrm{ BD }} \cdot \dfrac{\mathrm{ BD }}{\mathrm{ CD }}$ に着目すると、$\mathrm{ CD } = \dfrac{\myBox{オカ}}{\myBox{キ}}$ である。
 $\triangle \mathrm{ BCD }$ の外接円を O とし、点 B における円 O の接線と直線 AC との交点を E とすると、点 E は辺 ACA の側の延長上にある。このとき\[ \angle \mathrm{ DBE } = \frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}} \angle \mathrm{ ABE } \]であるから、 $\dfrac{\mathrm{ DE }}{\mathrm{ BE }} = \dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。
 また、線分 BE は線分 $\myBox{シ}$ と同じ長さである。 $\mybox{シ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: AB
 1: AD
 2: AE
 3: BC
 4: CD

したがって、$\mathrm{ DE } = \dfrac{\myBox{スセ}}{\myBox{ソ}}$ である。

 辺 BC の中点を M とし、線分 EM と線分 BD の交点を F とすると\[ \dfrac{\mathrm{ FM }}{\mathrm{ EF }} = \dfrac{\myBox{タ}}{\myBox{チツ}} \]である。

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考え方

同じ大きさの角度を使って、二等分線や二等辺三角形と絡ませて解いていきます。

最後は、式の形からメネラウスの定理を使うんじゃないか、と予想できますが、なかなかひらめきにくいです。求めたい比に含まれる辺を持つ三角形を探して考えましょう。