センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$(1) 不定方程式\[ 21x+13 = 16y+12 = 96z+28 \]の整数解 x, y, z を求めるためには、2つの不定方程式
\begin{eqnarray}
21x+13 &=& 16y+12 \quad \cdots ① \\
16y+12 &=& 96z+28 \quad \cdots ②
\end{eqnarray}の共通の整数解を求めればよい。まず、①の整数解 x, y のうち、 $|x|$ が最小になるのは $x=\myBox{ア}$, $y=\myBox{イ}$ であり、①のすべての解は s を整数として
\begin{eqnarray}
x &=& \mybox{ア}+\myBox{ウエ}s, \\
y &=& \mybox{イ}+\myBox{オカ}s
\end{eqnarray}と表される。次にこれらのうち、②を満たすものを求める。

 ②に $y = \mybox{イ}+\mybox{オカ}s$ を代入すると\[ \myBox{キ}z-\myBox{ク}s=1 \quad \cdots ③ \]となる。③の整数解 z, s のうち、 $|z|$ が最小になるのは $z=\myBox{ケコ}$, $s=\myBox{サシ}$ であり、③のすべての解は t を整数として
\begin{eqnarray}
z &=& \mybox{ケコ}+\myBox{ス}t, \\
s &=& \mybox{サシ}+\myBox{セ}t
\end{eqnarray}と表される。よって、①、②の共通解は
\begin{eqnarray}
x &=& \myBox{ソタチ}+\myBox{ツテ}t, \\
y &=& \myBox{トナニ}+\myBox{ヌネ}t, \\
z &=& \mybox{ケコ}+\mybox{ス}t \\
\end{eqnarray}である。

(2) 自然数 n は、21で割ると13余り、16で割ると12余り、96で割ると28余るとする。このとき、 x, y, z をそれぞれの商とすると\[ n = 21x+13 = 16y+12 = 96z+28 \]を満たす。このような n のうち、最小のものは $\myBox{ノハヒ}$ である。

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考え方

前半の不定方程式を解くところが一番難しく、進むにつれてだんだん簡単になっていきます。不定方程式を解く問題は、難しめですが、出題される頻度は高いので、よく練習しておきましょう。

(2)は(1)の結果を使うだけの、おまけみたいな問題です。