なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第2問 [3] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$A組 m 人とB組 n 人の生徒に対して行ったテストの得点を
  A組 $x_1,x_2,\cdots,x_m$
  B組 $y_1,y_2,\cdots,y_n$
と書く。各組の平均点を $\bar{x}$, $\bar{y}$, 分散を $S_A^2$, $S_B^2$ とする。また、A組とB組を合わせた $(m+n)$ 人の得点の平均点を $\bar{w}$, 分散を $S^2$ とする。これらの間に一般に成り立つ関係について調べる。
 A組の得点と $\bar{w}$ の差の2乗の和\[ (x_1-\bar{w})^2+(x_2-\bar{w})^2+\cdots+(x_m-\bar{w})^2 \]を、 $\bar{x}$, $S_A^2$, $\bar{w}$ を用いて表すと $\myBox{チ}$ である。ただし、 $S_A^2$ は\[ S_A^2=\frac{1}{m}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_m^2) -(\bar{x})^2 \]で計算できる。 $\mybox{チ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $S_A^2+(\bar{x})^2+(\bar{w})^2$
 1: $S_A^2+(\bar{x}-\bar{w})^2$
 2: $mS_A^2+m\{(\bar{x})^2+(\bar{w})^2\}$
 3: $mS_A^2+m(\bar{x}-\bar{w})^2$

 A組とB組の生徒を合わせた $(m+n)$ 人の得点の分散 $S^2$ は $\myBox{ツ}$ に等しい。 $\mybox{ツ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $\dfrac{mS_A^2+nS_B^2 +(m+n) \{ (\bar{x}+\bar{y})^2 -(\bar{w})^2 \} }{m+n}$

 1: $\dfrac{mS_A^2+nS_B^2 -(m+n) \{ (\bar{x})^2+(\bar{y})^2 -(\bar{w})^2 \} }{m+n}$

 2: $\dfrac{mS_A^2+nS_B^2 -\{ m(\bar{x})^2+n(\bar{y})^2 \} +(m+n)(\bar{w})^2 }{m+n}$

 3: $\dfrac{mS_A^2+nS_B^2 +m(\bar{x})^2+n(\bar{y})^2 +(m+n)(\bar{w})^2 }{m+n}$

 4: $\dfrac{mS_A^2+nS_B^2 +m(\bar{x})^2+n(\bar{y})^2 -(m+n)(\bar{w})^2 }{m+n}$

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考え方

見た目で解く気がなくなりますが、実際に手を動かしてみると、やっぱり解く気がなくなります。文字のたくさん入った式の変形に慣れていないと、解ききることができません。

前半は、全部を展開する前に、一部分だけ展開し、それを各項足し合わせるとどうなるか、と考えたほうが解きやすいでしょう。

後半は、前半の結果を利用しながら解き進めていきます。しかし、平均の間にある関係に気づかなければ解けません。

抽象度が高く、難易度が高いです。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2017年度
分野: データの分析
トピック: データの分析
レベル: むずかしい
キーワード: 平均, 分散
更新日:2017/05/28