センター試験 数学I・数学A 2017年度追試 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$点 A を中心とする半径 $1$ の円がある。点 A から距離 $2$ の位置にある点 B から円 A に接線を1本引く。その接線と円 A との接点を C とし、点 D を線分 CD が円 A の直径となるようにとる。
 このとき
\begin{eqnarray}
& & \mathrm{ BC }=\sqrt{\myBox{ア}}, \\[5pt] & & \mathrm{ BD }=\sqrt{\myBox{イ}}, \\[5pt] & & \sin \angle \mathrm{ ABC }=\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}} \\[5pt] \end{eqnarray}である。

 また、 $\triangle \mathrm{ ABD }$ の外接円の半径は $\dfrac{\sqrt{\myBox{オカ}}}{\myBox{キ}}$ である。その外接円の中心を O とすると、 $\cos \angle \mathrm{ BOD } = \dfrac{\myBox{クケ}}{\myBox{コ}}$, $\dfrac{\sin \angle \mathrm{ AOC }}{\sin \angle \mathrm{ COD }} = \dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$ である。

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考え方

よく見ると、30度や60度、120度といった角度が出てくるので、あまり計算しなくてもいろいろな値が求められます。正弦定理や余弦定理を使って解くことも大事ですが、計算が省略できるところは積極的に省略していきましょう。

最後の問題だけ、少し難易度が高いです。分母・分子の値をそれぞれ求めることなく分数の値が求められます。図形的に考える必要がありますが、センター数学の過去問をよく解いていないと、なかなか思いつかないです。