センター試験 数学I・数学A 2017年度 第2問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$$\triangle \mathrm{ ABC }$ において、 $\mathrm{ AB }=\sqrt{3}-1$, $\mathrm{ BC }=\sqrt{3}+1$, $\angle \mathrm{ ABC }=60^{\circ}$ とする。

(1) $\mathrm{ AC }=\sqrt{\myBox{ア}}$ であるから、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円の半径は $\sqrt{\myBox{イ}}$ であり\[ \sin \angle \mathrm{ BAC } = \frac{\sqrt{\myBox{ウ}} +\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}} \]である。ただし、$\mybox{ウ}$, $\mybox{エ}$ の解答の順序は問わない。

(2) 辺AC 上に点 D を、 $\triangle \mathrm{ ABD }$ の面積が $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}$ になるようにとるとき\[ \mathrm{ AB }\cdot \mathrm{ AD } = \frac{\myBox{カ}\sqrt{\myBox{キ}}-\myBox{ク}}{\myBox{ケ}} \]であるから、 $\displaystyle \mathrm{ AD }=\frac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。

考え方

図はそんなに複雑ではありません。ただ、計算の途中で有理化をする場面が多いため、計算が少し面倒です。余弦定理、正弦定理、三角形の面積を使いますが、使い方はオーソドックスです。有理化のやり方をきっちりおさえておけば、難しくはないでしょう。